23、统计、概率与随机数生成

统计、概率与随机数生成

1. 基础统计问题与随机变量运算

1.1 基础统计问题示例

有一个关于20岁男性身高的统计问题：
- (a) 绘制缩放频率直方图。
- (b) 求均值和标准差。
- (c) 用均值和标准差估计不高于69英寸的20岁男性数量。
- (d) 估计身高在68到72英寸之间的人数。

答案为：(b) 均值 = 69.4英寸，标准差 = 2.14英寸；(c) 43%；(d) 63%。

1.2 随机变量的和与差

若两个独立的正态分布随机变量 (x) 和 (y)，其均值分别为 (\mu_x) 和 (\mu_y)，方差分别为 (\sigma_x^2) 和 (\sigma_y^2)，令 (u = x + y)，(v = x - y)，则有：
- (\mu_u = \mu_x + \mu_y)
- (\mu_v = \mu_x - \mu_y)
- (\sigma_u^2 = \sigma_v^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2)

这些性质会在一些实际问题中应用。

2. 随机数生成

2.1 随机数生成背景

在许多工程应用中，我们常没有简单的概率分布来描述结果的分布。例如，一个由多个组件组成的电路的故障概率是组件数量和使用年限的函数，但我们往往无法得到描述故障概率的函数。这时，我们常借助模拟来进行预测。模拟程序会运行多次，使用一组随机数来表示一个或多个组件的故障，然后用结果来估计所需的概率。

软件生成的“随机”数并非真正随机，而是伪随机数