11、引力波与暴胀场范围：弦暴胀模型的探索

引力波与暴胀场范围：弦暴胀模型的探索

1. D3 - 膜在对称环面上的情况

我们先来看D3 - 膜在未卷曲且对称的六维环面上的例子。这里假设翘曲因子(h(y) = 1)，并且六个圆具有相同的半径(L)，且相互垂直。由于大的(\eta)参数，简单的D3/D3暴胀在这样的空间中无法实现，但我们可以计算这个玩具模型中暴胀场的最大范围。

假设膜仅沿着一个圆分离，D3 - 膜在碰到反D3 - 膜之前能移动的最大距离(\Delta y = \pi L)。规范归一化的暴胀场(\phi)与(y)的关系为(\phi = \sqrt{T_3}y)，所以(\Delta\phi = \sqrt{T_3}\pi L)。利用(V_w^6 = (2\pi L)^6)，可以推导出：
(\left(\frac{\Delta\phi}{M_{Pl}}\right)_{max} = \frac{\sqrt{g_s l_s^2}}{2\sqrt{2}L^2})
其中，D3 - 膜的张力(T_3 = ((2\pi)^3 g_s l_s^4)^{-1})，弦长度(l_s = \sqrt{\alpha’})。若要使超引力近似有效，需要(L >> l_s)且(g_s << 1)，这意味着以普朗克单位衡量的场范围很小，引力波振幅可忽略不计。

不过，这个结论存在一些需要注意的地方：
- 对角移动 ：D3 - 膜可能沿对角方向移动而非仅沿一个圆移动，但这最多只会使场范围增大(\sqrt{6})倍。
- 多膜堆叠 ：使用(n)个移动的D3 - 膜而非单个膜，将这些膜的集体坐标作为暴胀场，规范归一化