5、弦理论中的对偶性、膜与紧致化

弦理论中的对偶性、膜与紧致化

1. 弦理论中的对偶性

弦理论中有两种重要的对偶性：T - 对偶性和 S - 对偶性。

1.1 T - 对偶性

T - 对偶性是开弦部分的精确对称性，但前提是D - 膜的维度也要改变。这意味着在进行T - 对偶性的方向上，开弦的边界条件类型（诺伊曼或狄利克雷）必须互换。

例如，考虑一个沿坐标$X^0, X^1, \cdots, X^{24}$伸展的D24 - 膜。在这些方向上，开弦满足诺伊曼边界条件，而在$X^{25}$方向上，开弦满足狄利克雷边界条件。假设$X^{24}$和$X^{25}$方向分别在半径为$R_{24}$和$R_{25}$的圆上紧致化，我们可以对这两个紧致方向应用T - 对偶性。
- 若沿$X^{25}$进行T - 对偶性，对偶理论中$X^{25}$方向的开弦也满足诺伊曼边界条件，此时对偶理论中存在一个D25 - 膜，两个紧致方向的半径分别为$R_{24}$和$\alpha’/R_{25}$。
- 若沿$X^{24}$进行T - 对偶性，$X^{24}$坐标中的开弦不再满足诺伊曼边界条件，对偶理论中剩下一个D23 - 膜，它在半径为$\alpha’/R_{24}$和$R_{25}$的圆上紧致化。

在超弦理论中，T - 对偶性同样是精确对称性，它关联了以下超弦理论：
- 半径为$R$的圆上的杂化$SO(32)$超弦理论和半径为$\alpha’/R$的圆上的杂化$E_8 \times E_8$超弦理论。
- 半径为$R$的圆上的IIA型超弦理论和半径为$\alpha’/R$的圆上的IIB型超弦理论。

1.2 S - 对偶性