18、微分方程求解方法详解

微分方程求解方法详解

1. 一阶微分方程求解示例

在求解微分方程时，我们可以使用 MATLAB 中的 ode45 函数。以下是一个简单的示例代码：

y0 = 1; 
tspan = [0 5];
[tt,yy] = ode45('func1',tspan,y0);

这里使用了自适应步长，它基于局部梯度。有趣的是，为了达到默认精度（该精度由相对误差和绝对误差定义，具体细节可查看 help ode45 手册页），该方法选择使用 57 个点。

2. 高阶系统求解

2.1 二阶系统

2.1.1 示例一：简单二阶系统求解

考虑系统 $\frac{d^2y}{dt^2} + y = 0$，在 $t = 0$ 到 $t = \pi$ 的区间内，满足初始条件 $y(0) = 1$ 和 $y’(0) = 0$。
首先，引入向量 $z$：
$z = \begin{bmatrix} z_1 \ z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \ y’ \end{bmatrix}$
则 $z’ = \begin{bmatrix} y’ \ y’’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y’ \ -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_2 \ -z_1 \end{bmatrix}$
对应的 MATLAB 代码如下：