45、数学概念、概率分布与计算复杂度综合解析

数学概念、概率分布与计算复杂度综合解析

1. 数学概念

1.1 正定性

• 对称矩阵 (A) 为正定矩阵的条件是，对于除原点外的所有点，(x^{\top}Ax) 均为正数，即对于所有 (x \neq 0)，有 (x^{\top}Ax > 0)。
• 对称矩阵 (A) 为半正定矩阵的条件是，(x^{\top}Ax) 始终非负，即对于所有 (x)，有 (x^{\top}Ax \geq 0)。

1.2 凸性

• 凸组合 ：两个向量 (x) 和 (y) 的凸组合为 (\alpha x + (1 - \alpha)y)，其中 (\alpha \in [0, 1])。对于 (m) 个向量，其凸组合可表示为 (w_1v^{(1)} + w_2v^{(2)} + \cdots + w_mv^{(m)})，这里权重 (w) 非负且总和为 1。
• 凸集 ：若集合 (S) 中任意两点间的连线完全位于该集合内，则称 (S) 为凸集。数学上，对于 (S) 中的所有 (x)、(y) 以及 ([0, 1]) 内的所有 (\alpha)，有 (\alpha x + (1 - \alpha)y \in S)。
• 凸函数 ：定义域为凸集的碗形函数称为凸函数。从数学角度，对于凸集 (S) 中的所有 (x)、(y) 以及 ([0, 1]) 内的所有 (\alpha)，有 (f(\alpha x + (1 - \alpha)y) \leq \alpha f(x) + (1 - \