25、非二进制密码的线性密码分析

非二进制密码的线性密码分析

1. 线性概率与数据复杂度

在进行线性密码分析时，我们会关注一些重要的概率和复杂度。假设 $\tau < LPD(\chi)$，可以得到如下概率关系：
[Pr_{D^d}\left{lp(Z_d; \chi) < \tau\right} \leq Pr_{D^d}\left{\left|\frac{1}{d}\sum_{j = 1}^{d}(X_j + iY_j) - E_D(\chi(Z))\right|^2 \geq (\sqrt{LPD(\chi)} - \sqrt{\tau})^2\right}]
对于 $\alpha \leq 2d\tau$ 和 $\beta \leq 2d(\sqrt{LPD(\chi)} - \sqrt{\tau})^2$，有：
[Adv_{D^d}(\chi) \geq Pr_{U^d}\left{2\cdot d\cdot lp(Z_d; \chi) < \alpha\right} - Pr_{D^d}\left{2d\cdot\left|\frac{1}{d}\sum(X_j + iY_j) - E_Z(\chi(Z))\right|^2 \geq \beta\right}]
当取 $\tau = \frac{1}{4}LPD(\chi)$ 时，对于 $\alpha \leq \frac{d}{2}LPD(\chi)$，可得：
[Adv_{D^d}(\chi) \geq 2\cdot Pr_U\left{2\cdot d\cdot lp(Z_d; \chi) \leq \alpha\right} - 1]

数据复杂度的估计很关键。在大阶情况，样本数量需超过 $\fra