LFSR——二进制下线性反馈移位寄存器与Berlekamp-Massey算法

LFSR——二进制下线性反馈移位寄存器与Berlekamp-Massey算法

转载自：元暑期学校课件(侵删)

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线性反馈移位寄存器（LFSR）

给定一个线性反馈移位寄存器(LFSR)的n个初始值$a_0,a_1,...,a_{n-1}$，不断地加移位脉冲，n级LFSR就会输出一序列
$$a_0,a_1,a_2,...$$
ai∈F2={0,1}a_i\in F_2=\{0,1\}ai​∈F2​={0,1}.

其中$a_{i+n}$满足等式
$$a_{i+n}=\sum _{j=1}^n{c}_j{a}_{i+n-j},c_j\in F_2.$$
我们把这样的序列称为 （n级）线性反馈移位寄存器（LFSR）。

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特征 多项式与联接多项式

n级LFSR的**特征多项式(Characteristic Polynomial)**为
$$f(x)=x^n+\sum _{i=1}^n{c}_i{x}^{n-i},$$

其**联接多项式(Reciprocal Polynomial/Joint Polynomial)**为
$$\overline{f}(x)=x^{n}f(\frac{1}{x})=1+\sum _{i=1}^n{c}_i{x}^i.$$

将满足递推关系式（2）的n级LFSR序列称为由$f(x)$产生的序列。

G(f)：由$f(x)$产生的所有序列的全体组成的集合。

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极小多项式

设a是$F_2$上的一个周期序列，存在$F_2$上唯一的首一多项式$f(x)$使得a$\in G(h(x))$当且仅当$f(x)|h(x)$。这个多项式$f(x)$称作a的极小多项式。

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Berlekamp-Massey算法

Berlekamp-Massey算法(简称BM算法)：在已知二元序列的情况下求解其极小多项式和阶数。

（1） 设$n_0$是一个非负整数，满足
$$a_0=a_1=\cdots =a_{n_0-1}=0,a_{n_0}̸=0.$$
取
$$d_0=d_1=\cdots =d_{n_0-1}=0,d_{n_0}=a_{n_0},$$
令
$$f_1(x)=f_2(x)=\cdots =f_{n_0}(x)=1,$$

$$l_1=l_2=\cdots =l_{n_0}=0.$$

令
$$f_{n_0+1}(x)=1-d_{n_0}{x}^{n_0+1},l_{n_0+1}=n_0+1.$$
(2) 假设$(f_i(x),l_i),1\le i\le n\le N$ 已经求得。而
$$l_1=l_2=\cdots =l_{n_0}<l_{n_0+1}\le l_{n_0+2}\le \cdots \le l_n$$
根据$f_n(x)=1+c_{n,1}x+\cdots +c_{n,l_n}{x}^{l_n}$，并计算
$$d_n=a_n+c_{n,1}{a}_{n-1}+\cdots +c_{n,l_n}{a}_{n-l_n}.$$
如果$d_n=0$，则取
$$f_{n+1}(x)=f_n(x),l_{n+1}=l_n;$$
若$d_n̸=0$，这时一定存在$1\le m<n$，使
$$l_m<l_{m+1}=l_{m+2}=\cdots =l_n,$$
取
$$f_{n+1}(x)=f_n(x)-d_n{d}_m^{-1}{x}^{n-m}{f}_m(x),$$

ln+1=max{ln,n+1−ln}. l_{n+1}=max\{l_n,n+1-l_n\}. ln+1​=max{ln​,n+1−ln​}.

例 求周期为8的序列$a^{(8)}=00101101$的极小多项式和阶数。

解 $a_0=0,a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1,a_5=1,a_6=0,a_7=1$. 首先$n_0=2$，因此
$$d_0=d_1=0,d_2=1,$$

$$f_1(x)=f_2(x)=1,f_3(x)=1-x^3,$$

$$l_1=l_2=1,l_3=3.$$

计算$d_4=a_4-a_1=1-0=1̸=0$，这时$l_2<l_3=l_4$，因此m=2，
$$f_5(x)=f_4(x)-d_4{d}_2^{-1}{x}^{4-2}{f}_2(x)=1-x^3-x^2=1+x^2+x^3,$$

l5=max{l4,4+1−l4}=3. l_5=max\{l_4,4+1-l_4\}=3. l5​=max{l4​,4+1−l4​}=3.

计算$d_5=a_5+a_3+a_2=1+0+1=0$，因此
$$f_6(x)=f_4(x)=1+x^2+x^3,l_6=l_5=3.$$
计算$d_6=a_6+a_4+a_3=0+1+0=1̸=0$, 这时$l_2<l_3=l_4=l_5$，因此$m=2$，
$$f_7(x)=f_6(x)-d_6{d}_2^{-1}{x}^{6-2}{f}_2(x)=1+x^2+x^3-x^4=1+x^2+x^3+x^4，$$

l7=max{l6,7−l6}=4. l_7=max\{l_6,7-l_6\}=4. l7​=max{l6​,7−l6​}=4.

计算$d_7=a_7+a_5+a_4+a_3=1+1+1+0=1̸=0$，这时$l_6<l_7$,因此$m=6$，
$$f_8(x)=f_7(x)-d_7{d}_6^{-1}{x}^{7-6}{f}_6(x)=1+x^2+x^3+x^4-x(1+x^2+x^3)=1+x+x^2，$$

l8=max{l7,8−l7}=4. l_8=max\{l_7,8-l_7\}=4. l8​=max{l7​,8−l7​}=4.

所以$a^{(8)}=00101101$的极小生成多项式为$1+x+x^2$，阶数为4。