20、再探平方根：二进制域运算的优化与性能分析

再探平方根：二进制域运算的优化与性能分析

1. 引言

在二进制域$F_{2^d}$的算术运算中，平方根提取、迹计算以及二次方程求解等操作是许多密码学算法和代数计算的基础。本文将详细介绍这些操作的实现方法、性能分析以及相关优化策略。

2. 操作实现

2.1 平方根提取

为了实现域元素$\alpha$的平方根提取，我们使用公式（1），不同实现之间唯一变化的部分是乘法$\zeta \cdot \alpha_{odd}$的实现方式。具体步骤如下：
1. 计算$\alpha_{even}$和$\alpha_{odd}$ ：使用一个16位到8位的查找表来压缩位。通过Robert Harley的技巧，该表存储在256个连续字节中，将输入$i$映射到$(i + i >> 7) \& 0xff$。
2. 根据约化多项式的性质选择方法 ：
- 非平方根友好多项式 ：在库初始化时计算平方根的汉明重量（仅计算一次）。如果重量足够低，则使用一个简单的例程，根据$\zeta$中设置的位对$\alpha_{odd}$的移位副本进行异或操作。如果重量高于某个阈值，则使用梳状二进制多项式乘法方法，在初始化时仅对$\zeta$进行一次预计算，必要时进行模$p(X)$约化。
- 平方根友好多项式 ：同样使用一个简单的例程对$\alpha_{odd}$的移位副本进行异或操作，但由于重量非常低且已知，该例程可以完全展开，并且无需进行模约化，性能最佳。

2.2 迹计