4、数字信号处理中的Z变换全面解析

数字信号处理中的Z变换全面解析

1. 引言

在数字信号处理（DSP）领域，它有着独特的语言和表达方式，其根源在于描述研究对象的数学原理。对于数字滤波器而言，Z变换是连接连续时间（模拟）系统和离散时间系统的桥梁，而离散时间系统则是构建数字滤波器的基础。

Z变换的起源可追溯到拉普拉斯变换。在研究连续时间信号和系统时，人们发现用拉普拉斯定义的代数语句替代微积分运算，能显著降低分析复杂度。拉普拉斯变换为20世纪的学术工程研究奠定了新的数学基础。20世纪中叶，离散时间信号以采样数据控制系统的形式出现，最初是在拉普拉斯变换的框架下，利用其延迟特性进行研究。

延迟定理表明，如果(x(t) \leftrightarrow X(s))，那么(x(t - kT) \leftrightarrow e^{-skT}X(s))。因此，时间序列(x[k] = {x[0], x[1], x[2], …})可以用拉普拉斯变换和延迟定理表示为(X(s) = x[0] + x[1]e^{-sT} + x[2]e^{-2sT} + …)。然而，拉普拉斯表示法的根本问题在于，每个延迟项都需要插入形式为(e^{-skT})的延迟算子。对于周期性采样信号，需要进行无限次插入，这非常繁琐，从而催生了简洁表示法：
(z = e^{sT})或(\hat{z} = e^{-sT})
这就是广为人知的Z算子和Z变换。自引入以来，拉普拉斯的(s)算子和Z算子已成为研究连续和离散时间线性信号与系统的常用工具。

2. Z变换的定义

2.1 Z变换的映射关系

方程(z = e^{sT})定义了(s)平面上的点与Z域中的点之间的关系。Z变换是将复拉普拉斯算