3、信号处理中的混叠与数据转换

信号处理中的混叠与数据转换

1. 混叠现象概述

当违反香农采样定理时，就可能出现混叠现象。混叠表现为重构（插值）信号或图像的失真。具体而言，当重构的信号或图像模拟另一个信号或图像时，就会发生混叠。

例如，在观看好莱坞西部片时，相机以30帧/秒的速率跟踪移动的驿站马车。当车轮以每帧45°的缓慢顺时针速度转动时，观众会看到车轮以恒定的顺时针速度旋转；而当车轮以每帧315°的快速转动时，从观众的角度看，车轮似乎以 -45°（315° - 360°）的速度逆时针转动。也就是说，快速移动的车轮模拟了一个反向旋转的慢速车轮，这种模拟效果就是混叠。

2. 香农采样定理与混叠

香农采样定理指出，如果信号以高于奈奎斯特采样率（2 × fmax）进行采样，就可以从其采样值中无误差地重构（插值）信号。如果采样率选择过小，违反了这个条件，信号重构就会受到影响。

以一个单调余弦波为例，当它以远低于临界采样率的速率采样（即欠采样）时，重构的模拟信号仍然是正弦波，但频率要低得多。这表明发生了重要的转变，即将原本位于频率ω0的正弦信号映射到了较低的基带频率Δ0 ∈ (-fs/2, fs/2)。

我们可以通过对频率可选择的正弦波x(t) = cos(2πf0t)以固定速率fs进行采样来实验验证混叠的影响。当正弦波的频率f0分别设置为0%、10%、30%和80%的采样频率fs（即α = 0, 0.1, 0.3, 0.8）时，结果如下：
- 当f0小于50%的fs（α < 0.5）时，满足香农采样定理，原始信号可以通过香农插值从采样值中恢复。
- 当输入信号频率等于采样频率的80%（α = 0.8）时，原始信号不再明显，插值信号