2、采样定理：数字信号处理的核心基础

采样定理：数字信号处理的核心基础

1. 引言

20世纪上半叶，Claude Shannon取得了一项重要的科学成就，他的许多发明至今仍在发挥作用。其中，他发明的一个黑色盒子颇为有趣，当通过开关启动时，它会伸出一只绿色的手将开关关闭。而更具价值的是他著名且影响深远的采样定理。

Shannon对采样的兴趣源于他在电话公司的工作经历。当时，他致力于最大化铜质电话线路上可同时使用的计费用户数量。他的创新方法是对每个用户的通话进行采样，将这些样本与其他用户的样本交织在一起，然后将它们放在一条公共电话线上传输，最后在接收端对样本进行解交织并重建原始消息。如今，我们将这个过程称为时分复用（TDM）。Shannon为采样和信号重建过程制定了规则，而采样定理也成为了理解数字信号处理（DSP）理论和实践的核心。该定理既为典型的DSP系统的性能提供了支持，也对其进行了约束。典型的DSP系统通常由模数转换器（ADC）、数模转换器（DAC）、数字或DSP处理器以及模拟信号调理滤波器（如抗混叠滤波器和插值滤波器）组成。采样定理也促使了这些信号调理滤波器的出现。

2. Shannon采样定理

采样定理指出，如果一个带限信号 $x(t)$，其最高频率分量被某个 $f_{max}$ 所限制，以采样率 $f_s$ 进行周期性采样，且满足：
$$f_s > 2 \times f_{max}$$
那么原始信号 $x(t)$ 可以从样本值 $x(t = kT_s) = x[k]$ 中重建，其中 $T_s$（采样周期）满足 $T_s = 1/f_s$。定义这个过程的参数有两个：$2 \times f_{max}$，称为奈奎斯特采样率（单位为样本每秒，Sa/s）；$f_s/2