信号处理之插值、抽取与多项滤波

信号处理之插值、抽取与多项滤波

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一、问题背景

插值(Interpolation)与抽取(Decimation)是数字信号处理中采样率转换的核心操作：

• 插值：在信号中插入新样本以提高采样率（$L$倍）
• 抽取：按比例$M$降低采样率（需防混叠）
  多项滤波通过多相分解优化计算效率，实现高效的多速率处理。

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二、数学原理

1. 插值过程

• 数学模型：插值因子$L$，插值后信号为：
  $$x_{\text{up}}[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/L],& n/L\in \mathbb{Z}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
• 低通滤波：消除镜像频率分量，传递函数为$H(z)$

2. 抽取过程

• 数学模型：抽取因子$M$，抽取前需滤波防混叠：
  $$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]\cdot x[nM-k]$$

3. 多相分解（核心）

将滤波器$H(z)$分解为$L$个（插值）或$M$个（抽取）子滤波器：
$$H(z)=\sum _{r=0}^{L-1}{z}^{-r}{E}_r(z^L)$$