9、最大流与最小成本流算法解析

最大流与最小成本流算法解析

1. 预流推进算法

预流推进算法是解决最大流问题的一种有效方法。在分析其运行时间时，我们关注非饱和推送的数量。

1.1 非饱和推送数量分析

定义势函数 $\Phi := \sum_{i 是活跃的} pot[i]$，其中 $pot[i]$ 是活跃顶点 $i$ 的标签。根据推论 5，这个势函数的值被 $2|V|^2$ 所界定。当算法终止时，$\Phi = 0$。

考虑沿着 $(i, j)$ 进行的非饱和推送，之后 $i$ 不再活跃，而 $j$ 变为活跃，且 $pot[j] = pot[i] - 1$，这意味着非饱和推送至少使 $\Phi$ 减少 1。

接下来分析 $\Phi$ 的总增加量，有两种情况：
- 饱和推送 ：可能产生新的活跃顶点，势函数最多增加 $2|V| - 1$。由于饱和推送的数量为 $O(|V||A|)$，所以饱和推送导致的 $\Phi$ 总增加量为 $O(|V|^2|A|)$。
- 顶点重标记 ：标签从不减少且被 $2|V| - 1$ 界定，重标记操作导致的总增加量为 $O(|V|^2)$。

因此，预流推进算法中非饱和推送的数量为 $O(|V|^2|A|)$，其运行时间为 $O(|V|^2|A|)$。

1.2 算法正确性证明

初始预流是不可行的，但当它变得可行时就是最优的。我们通过为每个阶段的预流提供一个饱和割来证明这一点。饱和割与预流互补，满足 $(f_a - cap_a)u_a = 0$，并且势函数保证 $(p_i - p_j + u