1、组合优化中的离散问题与图论基础

组合优化中的离散问题与图论基础

1. 离散优化问题概述

离散优化问题在众多领域都有广泛应用，如通信、工厂调度、生物学和经济学等。过去五十年来，由于强大计算设备的出现，该领域受到了极大关注。下面通过具体应用案例来深入了解。

1.1 最小生成树（MST）应用

某公司要安装新的计算机网络，需将每个办公桌的计算机连接到服务器，连接两台机器的网络链路成本取决于它们之间的距离，公司希望降低网络安装的总成本。

这种离散问题的可能解数量通常是有限的，但并非所有离散问题都如此。在二十世纪中叶之前，这类问题除了小规模实例外，手工计算非常困难。例如，若公司只有3台计算机，可检查64种可能网络，计算成本并选择最便宜的。然而，当有10台计算机时，可能的网络数量达到36,028,797,018,963,968；20台计算机时，可能性数量更是多达64位数字。所以，生成并检查所有可能网络既不高效也不可行，后续会介绍更简单、高效和系统的方法。

在解决问题时，我们运用数学方法抽象问题本质，忽略一些特定细节以获得解决方案。不同应用问题可能会归结为相同的抽象问题，这样我们只需解决一次，而且有时还能得到近似答案。

我们可以通过软件来研究最小生成树问题，以下是具体操作步骤：
1. 启动Gato程序，会出现两个窗口，其中一个包含菜单栏。
2. 在菜单“Window Layout”中选择“One Graph Window”。
3. 在菜单“File”中选择“Open Algorithm”，从“03 - MinimalSpanningTrees”目录中选择“MSTInteractive.alg”。此时，以下Python代码会出现在屏幕左