1、组合几何与图论简介

组合几何与图论简介

1 组合几何与图论的基本概念

组合几何与图论是现代数学中两个重要的分支，它们在计算机科学、工程学、物理学等领域有着广泛的应用。组合几何主要研究离散几何对象（如点、线段、多边形）的排列组合及其性质；而图论则专注于图（由顶点和边组成的抽象结构）的性质和应用。

1.1 组合几何的研究对象及基本问题

组合几何的核心问题是研究几何对象在空间中的排列组合方式。常见的研究对象包括点集、线段集、多边形集等。这些问题不仅涉及几何对象本身，还涉及到它们之间的关系，如交集、并集、覆盖等。例如：

• 单位圆覆盖 ：如何用最少数量的单位圆覆盖一个给定区域？
• 几何图的交叉数 ：在一个平面图中，边之间交叉的最少次数是多少？

这些问题在实际应用中具有重要意义，如无线网络布局、地图绘制等。

1.2 图论的基础知识

图论是一门研究图（Graph）的学科，图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成。图可以分为有向图（Directed Graph）和无向图（Undirected Graph）。图论中常用的术语包括：

• 度（Degree） ：一个顶点连接的边的数量。
• 路径（Path） ：图中连接两个顶点的一系列边。
• 连通性（Connectivity） ：图中任意两个顶点是否可以通过路径相连。