9、血管壁 1D - 3D - 1D 模型的离散化与数值方法

血管壁 1D - 3D - 1D 模型的离散化与数值方法

1. 引言

心血管疾病是全球主要的死亡原因，其中动脉粥样硬化最为常见。该疾病常同时影响多条动脉，因此需在血管网络中考虑病理过程的影响和发展。为消除狭窄，会进行动脉支架置入术；而肺栓塞也是心血管疾病的严重并发症，其成因是下肢形成的漂浮血栓随血流移动，为此会在下腔静脉置入特殊的腔静脉滤器来预防。此外，像动脉瘤和畸形等其他病理情况则需要手术干预。

数学建模在心血管疾病的治疗和预防方法的发展中发挥着越来越重要的作用，它可用于预测手术效果、优化植入物形状以及研究其对血流动力学的影响。不同研究者在相关领域提出了一些观点：
- Maria Hadjinicolaou和Eleftherios Protopapas提出将血浆在毛细血管中通过红细胞群的流动建模为轴对称斯托克斯流。
- C. Bui等人指出时间序列预测在心血管疾病诊断和预后方面是一个活跃但方法开发具有挑战性的领域。
- Jeffrey L. Kibler等人研究了创伤暴露女性的体重指数与心血管从心理压力中恢复的关系。

为解决一维和三维模型接口的问题，通常使用两类算法：子域迭代法和分裂法。由于子域迭代法计算成本高，且常用于涡形式的纳维 - 斯托克斯方程，因此在计算实验中采用以下分裂方案。

假设在时间 $t = t_n$ 时，对应参数的值为 $u_n$、$p_n$、$S_n$、$\overline{u} n$ 和 $\overline{p}_n$，时间步长 $\Delta t$ 恒定，且在一维和三维模型中相同，满足 $\Delta t \leq \min_n \frac{0.9}{S {n_{max}}}$。计