1.初等模型

1.初等模型

1.1核军备竞赛

1.1.1背景与问题

冷战时期美术声称为了保卫自己的安全，实行**“核威慑战略”**，核军备竞赛不断升级。

随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列核裁军协议。

在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。

估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受到哪些因素影响。

当一方采取加强防御、提高武器精准度、发展多导弹等措施时，平衡状态会发生什么。

【注：核威慑表示互相确保毁灭达到双方确保安全，对方如果发动核战争对我先下手为强，再打击了我的核设施以后我还有足够的能力毁灭对方一次】

1.1.2模型假设

以双方（战略）核导弹数量描述核军备的大小。

假定双方采取如下同样的核威慑战略：

• 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击已方的核导弹基地
• 已方在经受一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击
• 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地
• 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定

1.1.3问题假设

$y=f(x)\sim$甲有$x$枚导弹，乙所需的最少导弹数（乙安全线）

$x=g(y)\sim$乙有$y$枚导弹，甲所需的最少导弹数（甲安全线）

当$x=0$时，$y=y_0$,$y_0\sim$乙方的威慑值

$y_0\sim$$甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数。

1.1.4模型分析

乙方残存率$s\sim$甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率.

第一种情况：$$x<y$

甲方以$x$枚导弹攻击乙方$y$个基地中的$x$个，$sx$个基地未被摧毁，$y-x$个基地未被攻击.

$y_0=sx+y-x$ $⟹$ $y=y_0+(1-s)x$.

第二种情况：$x=y$

$y_0=sy$ $⟹$ $y=y_0/s$.

第三种情况：$y<x<2y$

乙的$x-y$个基地被攻击2次，$s^2(x-y)$个未被摧毁；

$y-(x-y)=2y-x$个被攻击1次，$s(2y-x)$个未被摧毁.

$y_0=s^2(x-y)+s(2y-x)$ $⟹$ $y=\frac{y_0}{s(2-s)}+\frac{1-s}{2-s}x$.

第四种情况：$x=2y$

$y_0=s^{2}y$ $⟹$ $y=y_0/s^2$.

统计规律可得：$x=ay$

$y=\frac{y_0}{s^a}=\frac{y_0}{s^{x/y}}$.

1.1.4.1模型解释1

甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标

甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.

1.1.4.2模型解释2

甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架

甲这种单独行为，会使双方的核导弹减少.

1.1.4.3模型解释3

双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立的摧毁目标

双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.

1.1.5总结

• 对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.
• 提出安全曲线概念，给出它的一般形式.
• 通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式.
• 利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释

1.2天气预报的评价

1.2.1问题提出

明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出。已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报，和实际上有雨或无雨的观测结果。

日期	预报A(%)	预报B(%)	预报C(%)	预报D(%)	实测（有雨=1，无雨=0）
1	90	30	90	60	1
2	40	30	50	80	1
…	…	30	…	…	…
15	10	30	20	10	0
…	…	30	…	…	…
31	80	30	50	10	0

怎么根据这些数据对4种预报方法给以评价？

1.2.2计数模型

有雨概率=50%，毫无意义，不予统计

根据明天是否有雨的实测，统计预报的正确率

序号	有雨	无雨	序号	有雨	无雨	正确率(%)
预报A	6	3	实测A	10	11	57
预报B	0	9	实测B	0	22	71
预报C	5	2	实测C	3	17	81
预报D	6	0	实测D	2	21	93

从实用角度看，更重要的是误报率。

设两种后果的损失之比为1：2 $⟹$ 误报率$P=\frac{P_1}{3}+\frac{2P_2}{3}$

序号	误报率（%）
预报A	35
预报B	19
预报C	20
预报D	6

缺点：未考虑预报概率的具体值

1.2.3计分模型

1.2.3.1模型1

将预报有雨概率与实测结果比较并记分

$p_k\sim$$第$k天有雨概率， $v_k=1\sim$第$k$天有雨， $v_k=0\sim$无雨

第$k$天的预报得分 $\{\begin{array}{l}{p}_k-0.5,v_k=1\\ 0.5-p_k,v_k=0\end{array}$.对k求和得到的预报分数$S_1$.$S_1$越大越好。

序号	分数
$S_1(A)$	1.0
$S_1(B)$	2.6
$S_1(C)$	7.0
$S_1(D)$	6.7

1.2.3.2模型2

$ p_k\sim$第$k$天预报有雨概率, $v_k=1\sim$第$k$天有雨, $v_k=0\sim$无雨

第$k$天的预报得分 $s_k=|p_k-v_k|$

对$k$求和得到预报的分数$s_2$,$s_2$越小越好

序号	分数
$S_2(A)$	14.5
$S_2(B)$	12.9
$S_2(C)$	8.5
$S_2(D)$	8.8

1.2.3.3模型3

第$k$天的预报得分 $s_k=(p_k-v_k{)}^2$

对$k$求和得到预报的分数$s_3$,$s_3$越小越好

序号	分数
$S_3(A)$	8.95
$S_3(B)$	6.39
$S_3(C)$	4.23
$S_3(D)$	3.21

1.2.3.4总结

序号	$S(A)$	$S(B)$	$S(C)$	$S(D)$	相对分差
模型一	1.0	2.6	7.0	6.7	1.6和0.3
模型二	14.5	12.9	8.5	8.8	1.6和0.3
模型三	8.95	6.39	4.23	3.21	2.56和1.02

模型一，二对4种预报的优劣排序、相对分差都相同$⟹$等价

比较模型3与模型2的优劣 $f\sim$理论上的有雨概率

$P(v=1)=f$,$P(v=0)=1-f$

$E(S)=E[(p-1{)}^2]=f(p-1{)}^2+(1-f)p^2=f(1-f)+(p-f{)}^2$

$p=f$时;$E(S)$最小

考察一般模型 $S=(|p-v|{)}^n$ 求$E(S)$的极值

$⟹$ 仅当$n=2$时$p=f$才能$E(S)$最小

1.2.4深入讨论

评价预报的优劣，需制定评价标准无统一看法，提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准

第一类标准：预报者本身的一致性

指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系。

不完全一致

• 预报者没有利用全部判断，只从使用者的需要出发
• 出于预报效益等考虑，对判断作了适当改变.

一致性受预报者控制，外界通常难以掌握

在预报以概率形式给出的情况下，当预报与预报者的判断一致时，才会得到与实际观测最相符的结果。

第二类标准：根据预报和实测间的关系，评价预报的品质

利用预报（随机变量$x$）与观测（随机变量$y$）的联合分布$F(x,y)$.

可靠性：将特定预报$x$下观测$y$的条件均值与$x$之差对所有$x$平均，作为可靠的数值标准。【注：越小越好】

决定性：将特定预报$x$下观测$y$的条件均值与$y$的无条件均值之差对所有$x$平均，作为决定性的数量指标。【注：越大越好】

由条件分布$F(y|x)$和边际分布$F(x)$计算得到.

分辨度：

• 将特定观测$y$下预报$x$的条件均值与$y$之差对所有$y$平均，作为分辨度的数量指标.【注：越小越好】
• 将这个条件均值与$y$的无条件均值之差对所有$y$平均，作为分辨度的又一数量指标.【注：越大越好】

由条件分布$F(x|y)$和边际分布$F(y)$计算得到.

敏锐性：如预报有雨概率多数接近1或0.

预报本身的敏锐，与事件无关。由边际分布$F(x)$决定

不确定性：实际事件发生的不确定，与预报无关。会给预报带来困难

由边际分布$F(y)$决定

计数、计分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准.

第三类标准：利用预报所实现的效益或带来的费用

• 用决策分析法估计预报的效益或费用的期望值，与不用预报（做先验估计）相比

1.2天气预报的评价

1.2.1问题提出

明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出。已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报，和实际上有雨或无雨的观测结果。

日期	预报A(%)	预报B(%)	预报C(%)	预报D(%)	实测（有雨=1，无雨=0）
1	90	30	90	60	1
2	40	30	50	80	1
…	…	30	…	…	…
15	10	30	20	10	0
…	…	30	…	…	…
31	80	30	50	10	0

怎么根据这些数据对4种预报方法给以评价？

1.2.2计数模型

有雨概率=50%，毫无意义，不予统计

根据明天是否有雨的实测，统计预报的正确率

序号	有雨	无雨	序号	有雨	无雨	正确率(%)
预报A	6	3	实测A	10	11	57
预报B	0	9	实测B	0	22	71
预报C	5	2	实测C	3	17	81
预报D	6	0	实测D	2	21	93

从实用角度看，更重要的是误报率。

设两种后果的损失之比为1：2 $⟹$ 误报率$P=\frac{P_1}{3}+\frac{2P_2}{3}$

序号	误报率（%）
预报A	35
预报B	19
预报C	20
预报D	6

缺点：未考虑预报概率的具体值

1.2.3计分模型

1.2.3.1模型1

将预报有雨概率与实测结果比较并记分

$p_k\sim$第$k$天有雨概率， $v_k=1\sim$第$k$天有雨， $v_k=0\sim$无雨

第$k$天的预报得分 $\{\begin{array}{l}{p}_k-0.5,v_k=1\\ 0.5-p_k,v_k=0\end{array}$.对k求和得到的预报分数$S_1$.$S_1$越大越好。

序号	分数
$S_1(A)$	1.0
$S_1(B)$	2.6
$S_1(C)$	7.0
$S_1(D)$	6.7

1.2.3.2模型2

$p_k\sim$第k天预报有雨概率, $v_k=1\sim$第$k$天有雨, $v_k=0\sim$无雨

第$k$天的预报得分 $s_k=|p_k-v_k|$

对$k$求和得到预报的分数$s_2$,$s_2$越小越好

序号	分数
$S_2(A)$	14.5
$S_2(B)$	12.9
$S_2(C)$	8.5
$S_2(D)$	8.8

1.2.3.3模型3

第$k$天的预报得分 $s_k=(p_k-v_k{)}^2$

对$k$求和得到预报的分数$s_3$,$s_3$越小越好

序号	分数
$S_3(A)$	8.95
$S_3(B)$	6.39
$S_3(C)$	4.23
$S_3(D)$	3.21

1.2.3.4总结

序号	$$S(A)$$	$$S(B)$$	$$S(C)$$	$$S(D)$$	相对分差
模型一	1.0	2.6	7.0	6.7	1.6和0.3
模型二	14.5	12.9	8.5	8.8	1.6和0.3
模型三	8.95	6.39	4.23	3.21	2.56和1.02

模型一，二对4种预报的优劣排序、相对分差都相同$⟹$等价

比较模型3与模型2的优劣 $f\sim$理论上的有雨概率

$P(v=1)=f$,$P(v=0)=1-f$

$E(S)=E[(p-1{)}^2]=f(p-1{)}^2+(1-f)p^2=f(1-f)+(p-f{)}^2$

$p=f$时;$E(S)$最小

考察一般模型 $$S=(|p-v|{)}^n$ 求$E(S)$的极值

$⟹$ 仅当$n=2$时$p=f$才能$E(S)$最小

1.2.4深入讨论

评价预报的优劣，需制定评价标准无统一看法，提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准

第一类标准：预报者本身的一致性

指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系。

不完全一致

• 预报者没有利用全部判断，只从使用者的需要出发
• 出于预报效益等考虑，对判断作了适当改变.

一致性受预报者控制，外界通常难以掌握

在预报以概率形式给出的情况下，当预报与预报者的判断一致时，才会得到与实际观测最相符的结果。

第二类标准：根据预报和实测间的关系，评价预报的品质

利用预报（随机变量$x$）与观测（随机变量$y$）的联合分布$F(x,y)$.

可靠性：将特定预报$x$下观测$y$的条件均值与$x$之差对所有$x$平均，作为可靠的数值标准。【注：越小越好】

决定性：将特定预报$x$下观测$y$的条件均值与$y$的无条件均值之差对所有$x$平均，作为决定性的数量指标。【注：越大越好】

由条件分布$F(y|x)$和边际分布$F(x)$计算得到.

分辨度：

• 将特定观测$y$下预报$x$的条件均值与$y$之差对所有$y$平均，作为分辨度的数量指标.【注：越小越好】
• 将这个条件均值与$y$的无条件均值之差对所有$y$平均，作为分辨度的又一数量指标.【注：越大越好】

由条件分布$F(x|y)$和边际分布$F(y)$计算得到.

敏锐性：如预报有雨概率多数接近1或0.

预报本身的敏锐，与事件无关。由边际分布$F(x)$决定

不确定性：实际事件发生的不确定，与预报无关。会给预报带来困难

由边际分布$F(y)$决定

计数、计分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准.

第三类标准：利用预报所实现的效益或带来的费用

• 用决策分析法估计预报的效益或费用的期望值，与不用预报（做先验估计）相比

2.优化模型

2.1存贮模型

2.1.1问题提出

配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费，该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.

已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。

【要求：不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系】

2.1.2问题分析

日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.

• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。【即：每天费用5000元】
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+700+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。【即：平均每天费用950元】
• 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。【即：平均每天费用2550】

从宏观分析10天生产一次，平均每天费用最小？

• 周期短，产量小 $⟹$ 贮存费少，准备费多

• 周期长，产量大 $⟹$ 准备费少，贮存费多

  $⟹$ 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小

2.1.3模型假设

参数	意义
$r$	产品每天的需求量
$c_1$	每次生产准备费
$c_2$	每天每件产品贮存费
$Q$	生产一次数量
$T$	生产一次周期

时间和产量作为连续量处理

【即：$r$，$c_1$，$c_2$已知，求$Q$，$T$使每天总费用的平均值最小】

2.1.4模型建立

贮存量表示为时间的函数$q(t)$，$t=0$生产$Q$件，$q(0)=Q$,$q(t)$以需求速率$r$递减，$q(T)=0$.

$⟹$ $Q=rT$

一周期贮存费为：$c_2{\int }_0^{T}q(t)dt=c_3\frac{QT}{2}$.

一周期总费用为：$C=C_1+C_2\frac{QT}{2}=c_1+c_2\frac{r{T}^2}{2}$.

每天总费用平均值（目标函数)：$C(T)=\frac{C}{T}=\frac{c_1}{T}+\frac{c_{2}rT}{2}$.

2.1.5模型求解

求$T$使$C(T)=\frac{c_1}{T}+\frac{c_{2}rT}{2}⟹min$.

$\frac{dC}{dT}=0$ $⟹$ $T=\sqrt{\frac{2c_1}{r{c}_2}}$ $Q=rT=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_2}}$.

定性分析：$c_1\uparrow$ $⟹$ $T_{1}Q\uparrow$ $c_2\uparrow$ $⟹$ $T_{2}Q\downarrow$ $r\uparrow$ $⟹$ $R\downarrow Q\uparrow$

敏感性分析：参数$c_1，c_2，r$的微小变化对$T，Q$的影响

$T$对$c_1$的（相对）敏感度：

$S(T,c_1)=\frac{△T/T}{△c_1/c_1}=\frac{dT}{c_1}\frac{c_1}{T}=\frac{1}{2}$.【注：$c_1$增加$1 %，T$ 增加$0.5$%】

$S(T,c_2)=\frac{△T/T}{△c_2/c_2}=\frac{dT}{c_2}\frac{c_2}{T}=-\frac{1}{2}$.【注：$c_2$或$r$增加$1$%，$T$ 减少$0.5$%】

2.1.6模型应用

$T=\sqrt{\frac{2c_1}{r{c}_2}}$ $Q=rT=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_2}}$.

• 回答原问题：$c_1=5000$，$c_2=1$，$r=100$

$⟹$ $T=10(天)$，$Q=1000(件)$，$C=1000(元)$

引出问题：为什么这里一周期每天总费用平均值为1000元与前面计算一周期每天总费用平均值950元，两者之间有什么区别？

分析：当贮存量降到零时，$Q$件立即到货

经济批量订货公式(EOQ)，不允许缺货的存贮模型

2.1.7模型延伸

允许缺货的存贮模型：

当贮存量降到零时仍有需求$r$，出现缺货，造成损失.

原模型假设：贮存量降到零时$Q$件立即生产出来（或立即到货）

现假设：允许缺货，每天每件缺货损失费$c_3$，缺货需补足.

周期$T$，$t=T_1$贮存量降到零

一周期贮存费：$c_2{\int }_0^{T_1}q(t)dt=c_{2}A$.

一周期缺货费：$c_3{\int }_{T_1}^T|q(t)|dt=c_{3}B$.

一周期总费用：$C=c_1+c_2\frac{Q{T}_1}{2}+c_3\frac{r(T-T_1{)}^2}{2}=c_1+\frac{1}{2}{c}_{2}Q{T}_1+\frac{1}{2}{c}_{3}r(T-T_1{)}^2$.

每天总费用平均值（目标函数）：$C(T,Q)=\frac{C}{T}=\frac{c_1}{T}+\frac{c_2{Q}^2}{2rT}+\frac{c_3(drT-Q{)}^2}{2rT}$.

求$T,Q$使$C(T,Q)⟹Min$.

$\frac{\partial C}{\partial T}=0$，$\frac{\partial C}{\partial Q}=0$. 为与不允许缺货的存贮模型相比，$T$记作$T^{\prime }$，$Q$记作$Q^{\prime }$.

$T^{\prime }=\sqrt{\frac{2c_1}{r{c}_2}\frac{c_2+c_3}{c_3}}$. $Q^{\prime }=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_2}\frac{}{}}$

2.1.8比较缺货模型与不允许缺货模型

允许缺货模型：$T^{\prime }=\sqrt{\frac{2c_1}{r{c}_2}\frac{c_2+c_3}{c_3}}$. $Q^{\prime }=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_2}\frac{c_3}{c_2+c_3}}$.

不允许缺货模型:$T=\sqrt{\frac{2c_1}{r{c}_2}}$. $Q=rT=\sqrt{\frac{2c_{1}r}{c_2}}$.

记：$\mu =\sqrt{\frac{c_2+c_3}{c_3}}$. $T^{\prime }=\mu T$，$Q^{\prime }=\frac{Q}{\mu }$.

敏感性分析：

• $\mu >1⟹T^{\prime }>T$，$Q^{\prime }<Q$ $c_3\uparrow ⟹\mu \downarrow$.
• $c_3\to \infty ⟹\mu \to 1$. $⟹T^{\prime }\to T$，$Q^{\prime }\to Q$.

2.1.9总结

• 存贮模型（EOQ公式）是研究批量生产计划的重要理论基础，也有实际应用.
• 建模中未考虑生产费用，为什么？在什么条件下可以不考虑？
• 建模中假设生产能力为无限大（生产时间不计），如果生产能力有限（大于需求量的常数），应作怎么样的改动.

• 2.2血管分支

2.2.1背景与问题

机体提供能量维持血液在血管中的流动，给血管壁以营养，客服血液流动的阻力，消耗能量与取决于血管的几何形状。在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则。

研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度。

2.2.2模型假设

一条粗血管和两条细血管在分支点对称地出于同一平面。

血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动。

血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度$d$近似于与血管半径$r$成正比。

2.2.3模型分析

考察血管$AC$与$CB$，$C{B}^{\prime }$.$q_1$

现分析得出$q=2q_1$, 未知$r/r_1,\theta ?$

粘性流体在刚性管道中运动：$q=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\mu l}$.

$\Delta p\sim A,C$压力差 $\mu \sim$粘性系数

克服阻力消耗能量$E_1$:$E_1=q\Delta p=\frac{8\mu q^{2}l}{\pi r^4}$.

提供营养消耗能量:$E_2$. 管壁内表面积:$2\pi rl$.

管壁体积:$\pi (d+r{)}^2-\pi d^2=$$\pi (d^2+2rd)l$， 管壁厚度$d$与$r$成正比:$E_2=b{r}^{a}l,1⩽\alpha ⩽2$，$b$为常数

$l=L-H/tan(\theta )$，$l_1=H/sin(\theta )$.

机体为血液提供能量：

$E=E_1+E_2=(\frac{k{q}^2}{r^4})l+(\frac{k{q}_1^2}{r_1^4}+b{r}_1^{\alpha })2l_1$.

$E(r,r_1,\theta )=(\frac{k{q}^2}{r^4}+b{r}^{\alpha })(L-\frac{H}{tan(\theta )})+(\frac{k{q}_1^2}{r_1^4}+b{r}_1^{\alpha })2\frac{H}{sin(\theta )}$.

2.2.4符号说明

符号	意义	符号	意义
$l$	$A-C$距离	$E_1$	克服阻力消耗能量
$L$	$A-B/B^{\prime }$距离	$E_2$	提供营养消耗能量
$H$	$B-D$距离	$r$	粗血管半径
$\theta$	$\angle BCD$角度	$r_1$	细血管半径
$\Delta p$	$A-C$压力差	$d$	整个管壁的半径
$\mu$	粘性系数	$E$	整个机体为血液提供的能量

2.2.5模型建立并求解

$E(r,r_1,\theta )=(\frac{k{q}^2}{r^4}+b{r}^{\alpha })(L-\frac{H}{tan(\theta )})+(\frac{k{q}_1^2}{r_1^4}+b{r}_1^{\alpha })2\frac{H}{sin(\theta )}$.

$\frac{\partial E}{\partial r}=0$， $$\frac{\partial E}{\partial r_1}=0$.

$⟹$$\{\begin{array}{l}b\alpha r^{\alpha -1}-\frac{4k{q}^2}{r^5}=0\\ b\alpha r_1^{\alpha -1}-\frac{4k{q}_1^2}{r_1^5}=0\end{array}$. $\frac{r}{r_1}=4^{\frac{1}{\alpha +4}}$.

$\frac{\partial E}{\partial \theta }=0,$ $⟹$ $cos(\theta )=2(\frac{r}{r_1}{)}^{-4}$. $cos(\theta )=2^{\frac{\alpha -4}{\alpha +4}}$.

$1⩽\alpha ⩽2$. $1.26⩽r/r_1⩽1.32$. $37^{。}⩽\theta ⩽49^{。}$.

2.2.6模型解释并延伸

$1⩽\alpha ⩽2$. $1.26⩽r/r_1⩽1.32$. $37^{。}⩽\theta ⩽49^{。}$.

此结果与生物学家：结果与观测大致吻合

推论：大动脉到毛细血管有$n$次分岔，$n=?$

观察：狗的血管在$r_{max}/r_{min}\approx 1000\approx 4^5$.

$n\approx 5(\alpha +4)$. $1⩽\alpha ⩽2$. $n\approx 25\sim 30$.

血管总条数：$2^n\approx 2^{25}\sim 2^{30}\approx 3\times 10^7\sim 10^9$.

2.2.7总结

• 血管分支模型，可推算出血管条数。根据不同动物生理特点，每条血管长度之间若能找出一定的规律再建模型，可以推算出不同年龄的动物血管总长度，从而可计算出药物流遍全身、药物发生作用的时间，能提供较高的参数价值
• 此模型还存在着一定性的缺陷：分支的三条血管很少在同一平面，而是一个立体几何的三维结构关系
• 人体的血管分支很少对称，腹主动脉末端向左右骼总动脉分支所形成的两个角度存在显著性差异，此模型基础不可进行人体血管分析

2.3冰山运输

2.3.1背景与问题

• 波斯湾地区水资源贫乏，淡水海水的成本为每立方米$0.1$英镑
• 专家建议从$9600km$远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水
• 从经济角度研究冰山运输的可行性

1.日租金和最大运量

船型	小	中	大
日租金（英镑）	$4.0$	$6.2$	$8.0$
最大运量（$m^3$）	$5\times 10^5$	$10^6$	$10^7$

2.燃料消耗（英镑/km）

船速（$km/h$）\冰山体积($m^3$)	$10^5$	$10^6$	$10^7$
$1$	$8.4$	$10.5$	$12.6$
$3$	$10.8$	$13.5$	$16.2$
$5$	$13.2$	$16.5$	$19.8$

选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较。

2.3.2模型假设

• 航行过程中船速不变，总距离$9600km$.
• 冰山呈球形，球面各点融化率相同.
• 到达目的地后，每立方米冰可能融化$0.85m^3$水.

2.3.3问题分析

运输中融化的规律：

一.冰山融化规律

船速$u(km/h)$与南极距离$d(km)$融化速率$r(m/天)$.

u\r\d	$0$	$1000$	$>4000$
$1$	$0$	$0.1$	$0.3$
$3$	$0$	$0.15$	$0.45$
$5$	$0$	$0.2$	$0.6$

$规律关系\{\begin{array}{l}r是u的线性函数\\ d<4000时，u与d成正比\\ d>4000时，u与d无关\end{array}$. $r=\{\begin{array}{l}{a}_{1}d(1+bu),0\le d\le 4000\\ a_2(1+bu),d>4000\end{array}$. $a_1=6.5\times 10^{-5},a_2=0.2,b=0.4$

航行$t$天，$d=24ut$

第$t$天融化速率， $r_1\{\begin{array}{l}1.56\times 10^{-3}u(1+0.4u)t,0\le t\le \frac{1000}{6u}\\ 0.2(1+0.4u),t>frac10006u\end{array}$.

冰山初始半径：$R_0$; 航行$t$天时半径：$R_t=R_0-\sum _{k=1}^r{r}_k$.

冰山初始体积：$V_0=\frac{4\pi }{3}{R}_0^3$; $t$天时体积：$V_1=\frac{4\pi }{3}{R}_t^3$

选定$u$,$V_0$,航行$t$天时冰山体积：V(u,V0,t)=4π3{(3V04π)13−∑k=1trk}3V(u,V_0,t)=\frac{4\pi}{3}\{(\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_k \}^3V(u,V0​,t)=34π​{(4π3V0​​)31​−k=1∑t​rk​}3.

总航行天数：$T=\frac{9600}{24u}=\frac{400}{u}$.

到达目的地时冰山体积：V(u,V0)=4π3{(3V04π)13−∑k=1trt}3V(u,V_0)=\frac{4\pi}{3}\{(\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_t \}^3V(u,V0​)=34π​{(4π3V0​​)31​−k=1∑t​rt​}3.

二.燃料消耗

燃料消耗$q_1(英镑/km)$，$q_1$对$u$线性，对$\lg V$线性

u\q_1\I^{\alpha}	$10^5$	$10^6$	$10^7$
$1$	$8.4$	$10.5$	$12.6$
$3$	$10.8$	$13.5$	$16.2$
$5$	$13.2$	$16.5$	$19.8$

$q_1=c_1(u+c_2)(\lg V+c_3)$; $c_1=0.3$,$c_2=6$,$c_3=-1$.

选定$u$,$V_0$,航行第$t$燃料消耗$q(英镑/天)$.

$q(u,V_0,t)=24u\cdot c_1(u+c_2)[\lg V(u,V_{0,t})+c_3]=7.2u(u+6)[\lg \frac{4\pi }{3}((\frac{3V_0}{4\pi }{)}^{\frac{1}{3}}-\sum _{k=1}^t{r}_k{)}^3-1]$.

燃料消耗总费用：$Q(u,V_0)=\sum _{i=1}^{T}q(u,V_0,t)$.

三.运送每立方米水费用

冰山初始体积$V_0$的日租金$f(V_0)(英镑)$

$V_0$$	$5\times 10^5$	$10^6$	$10^{\propto }$
$f(V_0)$	$4.$$	$6.2$	$8.0$

航行天数:$T=\frac{400}{u}$; 拖船租金费用：$R(u,V_0)=f(V_0)\cdot \frac{400}{u}$.

总燃料消耗总费用：

$Q(u,V_0)=\sum _{i=1}^{T}7.2u(U+6)[\lg \frac{4\pi }{3}((\frac{3V_0}{4\pi }{)}^{\frac{1}{3}}-\sum _{k=1}^t{r}_k{)}^3-1]$.

冰山运输总费用：$S(u,V_0)=R(u,V_0)+Q(u,V_0)$.

到达目的地时冰山体积;$V(u,V_0)=\frac{4\pi }{3}((\frac{3V_0}{4\pi }{)}^{\frac{1}{3}}-\sum _{t=1}^T{r}_t{)}^3$.

冰山运输总费用：$S(u,V_0)=R(u,V_0)+Q(u,V_0)$。

运送每立方米水费用：$Y(u,V_0)=\frac{S(u,V_0)}{W(u,V_0)}$.

2.3.4符号说明

符号	意义	符号	意义
$R_0$	冰山初始半径	$V(u,V_0)$	到达目的地时冰山体积
$u$	船速	$q_1$	燃料消耗
$d$	到南极距离	$Q$	燃料消耗总费用
$r$	融化速率	$f(V_0)$	日租金
$t$	航行天数	$R$$	拖船租金费用
$V_0$	冰山初始体积	$S(u,V_0)$	冰山运输总费用
$T$	总航行天数	$W(u,V_0)$	冰山到达目的地后得到的水体积
$Y(u,V_0)$	运送每立方米费用

2.3.5模型建立并求解

选择船型和船速，式冰山到达目的地后每立方米水的费用最低（$求u,V_0使Y(u,V_0)最小$）.

$V_0只能取离散值经验公式很粗糙$.$⟹$ $取几组(V_0,u)用枚举法计算$

到达目的地时冰山体积：V(u,V0)=4π3{(3V04π)13−∑k=1trt}3V(u,V_0)=\frac{4\pi}{3}\{(\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_t \}^3V(u,V0​)=34π​{(4π3V0​​)31​−k=1∑t​rt​}3.

燃料消耗总费用：$Q(u,V_0)=\sum _{i=1}^{T}q(u,V_0,t)$.

运送每立方米水费用：$Y(u,V_0)=\frac{S(u,V_0)}{W(u,V_0)}$.

U_0\u	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$
$10^7$	$0.0723$	$0.0683$	$0.0649$	$0.0663$	$0.0658$
$5\times 10^6$	$0.2251$	$0.2013$	$0.1834$	$0.1842$	$0179$
$10^6$	$78.9032$	$9.8032$	$6.2138$	$5.4647$	$4.5102$

$⟹$ $u=4\sim 5(km/h),V_0=10^7(m^3),Y(u，V_0)$.

2.3.6结果分析

大小拖船$V_0=10^7(m^3)$,船速$u=4\sim 5(km/h)$,冰山到达目的地后没立方米的费用$Y(u,V_0)$约0.065(英镑).

• 虽然$0.065$英镑略低于淡水化海水的成本$0.1(英镑)$，但是模型假设和构造非常简化与粗糙.
• 由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于$V(u，V_0)$.
• 有关部门认为，只有当计算出的$Y(u,V_0)$显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性.

2.3.7总结

• 模型来自实际问题的可行性研究
• 收集数据是建模的重要准备工作
• 根据数据得到的经验公式是建模的基础
• 冰山形状的球形假设简化了计算，这个假设的合理化如何？如果改变它呢？