31、量子计算中的非线性光学量子门与单向模型

量子计算中的非线性光学量子门与单向模型

1. 非线性光学量子门

在量子计算领域，为了实现基于量子比特（qunat）计算的量子计算机的根本加速，我们需要引入非高斯操作。高斯算子之所以能引出关于量子比特的Gottesman - Knill定理，是因为它们在相互作用哈密顿量中至多是二次的。例如，两个正交算子的二次函数的对易子仍然是正交算子的二次函数：
[
\begin{align }
[\hat{q}^2, \hat{p}^2] &= i(\hat{q}\hat{p} + \hat{p}\hat{q}) \
[\hat{q}^2, \hat{p}\hat{q}] &= i\hat{q}^2
\end{align }
]
当我们根据Baker - Campbell - Hausdorff关系计算算子演化时：
[
e^{\mu A}B e^{-\mu A} = B + \mu[B, A] + \frac{\mu^2}{2!} [B, [B, A]] + \cdots
]
如果A和B的重复对易子不会增加正交算子多项式的阶数，我们就无法用A和B创建任意多项式。因此，我们需要正交算子的高阶多项式算子。

以单模Kerr非线性为例，其哈密顿量为：
[
H_K = (\hat{q}^2 + \hat{p}^2)^2
]
这会导致幺正变换：
[
K(\kappa) \equiv \exp (-2iH_K\kappa) = \exp \left(-i\kappa \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a