3、光的量子理论与场算子演化

光的量子理论与场算子演化

1. 光的量子理论基础

1.1 近轴近似

当横向动量较小时，可以对光束采用“近轴近似”。从经典矢量势在频域的第 j 个空间分量的亥姆霍兹方程开始：
- 经典矢量势在时域和频域的关系通过傅里叶变换表示为：
[A_j(\mathbf{r}, t) = \int_{0}^{\infty} d\omega A_j(\mathbf{r}, \omega)e^{-i\omega t}]
- 利用 (\omega = ck)，得到傅里叶分量的波动方程，即亥姆霍兹方程：
[(\nabla^2 + k^2)A_j(\mathbf{r}, \omega) = 0]
- 对于沿 z 方向传播的波，设 (A_j(\mathbf{r}, \omega) = \psi_j(\mathbf{r}, \omega) e^{ikz})，将其代入亥姆霍兹方程，经过推导得到：
[\frac{\partial^2 \psi_j}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi_j}{\partial y^2} + 2ik\frac{\partial \psi_j}{\partial z} + \frac{\partial^2 \psi_j}{\partial z^2} = 0]
- 当 (2ik\frac{\partial \psi_j}{\partial z} \gg \frac{\partial^2 \psi_j}{\partial z^2})，即场在传播方向 z 上的变化远小于光的波长，且 (\frac{\partial^2 \psi_j}{\partial z^2} \ll \frac{\partial^