24、标量场与热分析相关知识详解

标量场与热分析相关知识详解

1. 场通量向量

当材料属性并非单位矩阵时，解会关联一个“通量向量”，即便标量未知量本身无实际物理意义，该通量向量通常也具有重要物理含义。例如在非圆形杆的扭转问题中，主要未知量是应力函数，其本身无物理重要性，梯度也无实际物理意义，但材料矩阵与解的梯度的乘积能定义材料中剪应力的分量。

最常用且重要的通量向量之一是根据傅里叶定律定义的某点的热通量向量：
$\vec{q} (x, y, z) = q = \begin{cases} q_x \ q_x \ q_x \end{cases} = -[\kappa] \nabla^T u (x, y, z)$
其中，$u$ 代表温度，$\kappa$ 包含各向异性热导率，$\vec{q}$ 是沿梯度向量方向的单位面积热通量。一般情况下，$x$ 分量可展开为：
$q_x = - (k_{xx} \frac{\partial u}{\partial x} + k_{xy} \frac{\partial u}{\partial y} + k_{xz} \frac{\partial u}{\partial z})$

在有限元研究的后处理阶段，会在每个单元的众多点计算热通量向量。通常会绘制这些向量（或其节点平均值），还会计算通量的大小 $|\vec{q}|$ 用于绘制等值线。单元后处理通常在数值积分点利用算子矩阵进行计算：
$q_e = - \kappa_e \nabla_e^T u (x, y, z) = - \kappa_e \nabla_e^T H_e (x, y, z) u_e \equiv - \kappa_e B_e (x, y, z) u_e$

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