CF833B The Bakery

题目：The Bakery

kevin_yu的题解

之前没有好好听@kevin_yu讲题，做了一晚上……

这篇题解主要是对kevin_yu的补充以及代码注释的扩充。

思路：

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part 1.dp

一个很容易想到的$O(n^{2}k)$算法——
令$f[i][j]$表示前i的位置划分j次的价值。
转移方程：
$f[i][j]=max(f[k][j-1]+cnt[k][i])$
其中，k是一个中间值，代表划分枚举的位置。

然后，我们知道这样做一定会超时，所以我们需要优化。

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part 2.线段树

我们选择优化转移，也就是说省去中间值k的枚举。
再看我们的转移方程，可以发现，我们取得是$f[k][j-1]+cnt[k][i]$这一段的最大值。
对于这种类型的取max的dp的优化，可以选择 单调队列优化 / nlogn数据结构优化。
如果使用单调队列，我们可以处理出$maxf[k][j-1]$，但是$cnt[k][i]$这种数据却无法操作。
所以考虑数据结构，也就是动态区间最值的最简单工具——线段树。

令pre[i]表示上一次出现与i同颜色的蛋糕的位置。
假设我们在pre[i]和i之间取分割点k，那么末点在区间$[k,i]$间都是可以拥有col[i]的，而$[pre[i],k)$这一段一定是没有col[i]的。

这样看，我们每次在线段树上更新$[pre[i],i]$，查询$[1,i]$就可以处理cnt的问题了。
而f[k][j-1]只需要在建树时加上就好。

具体实现见代码及注释——

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define maxn 35000
#define maxm 50
#define read(x) scanf("%d",&x)

#define lson (o*2)
#define rson (o*2+1)
#define mid (L+(R-L)/2)

int n,m;	
int f[maxn+5][maxm+5];	//f[i][j]：前i的位置划分j次的价值 

int pre[maxn+5];	//上一次出现与i同颜色的蛋糕的位置
map<int,int> mp;	//用来更新pre 

//线段树部分 

int a[maxn*10+5];	//线段树 
int lzy[maxn*10+5];	//lazy tag

void push_up(int o) {	//通过子节点更新父节点的值 
	a[o]=max(a[lson],a[rson]);
}

void make_tree(int o,int L,int R,int row) {	//建树
	a[o]=lzy[o]=0; 
	if(L==R) {
		a[o]=f[L-1][row-1];
		return ;
	}
	make_tree(lson,L,mid,row),make_tree(rson,mid+1,R,row);
	push_up(o);
}

void push_down(int o) {	//下传lazy tag 
	a[lson]+=lzy[o],a[rson]+=lzy[o];
	lzy[lson]+=lzy[o],lzy[rson]+=lzy[o];
	lzy[o]=0;
}

int P,Q;	//修改及查询的区间 

void update(int o,int L,int R) {	//更新 
	if(L>Q||R<P) return ;
	if(L>=P&&R<=Q) {
		lzy[o]++;
		a[o]++;
		return ;
	}
	push_down(o);
	update(lson,L,mid),update(rson,mid+1,R);
	push_up(o);
}

int query(int o,int L,int R) {	//查询 
	if(L>Q||R<P) return 0;
	if(L>=P&&R<=Q) {
		return a[o];
	}
	push_down(o);
	return max(query(lson,L,mid),query(rson,mid+1,R));
}

int main() {
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x;
		read(x);
		if(mp.count(x)) pre[i]=mp[x]+1;
		else pre[i]=1;
		mp[x]=i;
	}
	for(int j=1;j<=m;j++) {
		make_tree(1,1,n,j);
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			P=pre[i],Q=i;
			update(1,1,n);
			P=1,Q=i;
			f[i][j]=query(1,1,n);
		}
	}
	
	printf("%d",f[n][m]);
	
	return 0;
}