7、图匹配与系统诊断相关问题研究

图匹配与系统诊断相关问题研究

1. 图匹配问题

在图论中，诱导匹配问题是一个重要的研究方向，其中涉及到多种不同类型的诱导匹配问题，它们在复杂度上存在差异。

1.1 对偶弦图中的最小最大诱导匹配问题

对于图 (G’)，它是一个对偶弦图，因为存在一个最大邻域排序 ((q_{11}, \ldots q_{1n}, q_{21}, \ldots q_{2n}, \ldots, q_{n1}, \ldots q_{nn}, p_{11}, \ldots p_{1n}, p_{21}, \ldots p_{2n}, \ldots, p_{n1}, \ldots p_{nn}, w_1, w_2, \ldots, w_n, v_1, v_2, \ldots, v_n, v_0))。有如下重要结论：
- Claim 8 ：图 (G) 有一个基数至多为 (k) 的最大诱导匹配，当且仅当图 (G’) 有一个基数至多为 (k + n) 的最大诱导匹配。
- 证明思路 ：
- 若 (M) 是图 (G) 中基数至多为 (k) 的最大诱导匹配，定义 (M’ = M \cup \bigcup_{i\in[n]}{w_ip_{ii}})，显然 (M’) 是图 (G’) 中的最大诱导匹配，且 (|M’| \leq k + n)。
- 反之，设 (M) 是图 (G’) 中基数至多为 (k + n) 的最小最大诱导匹配。通过分析不同情况，如 (v_0w_i) 是否在 (M) 中，以及 (p_{ij}q_{ij}) 是否在 (M) 中，可得出 (M) 限制在 (E(G)) 上是图 (G) 中基数至多为