18、循环图受限支配集计数及多图匹配组合网络故障诊断能力研究

循环图受限支配集计数及多图匹配组合网络故障诊断能力研究

在图论研究中，循环图的受限支配集计数和多图匹配组合网络的故障诊断能力是两个重要的研究方向。下面将分别对这两个方面的内容进行详细介绍。

循环图受限支配集计数

在循环图的研究中，我们关注如何计算受限支配集（RDS）的数量以及受限支配多项式（RDP）。

• 受限支配集数量的计算
  • 当满足一定条件时，如 (C_{n - 1}^{i - 1} \neq \varnothing) 且 (C_{n - 3}^{i - 1} \neq \varnothing)，可以通过特定的构造方法得到 (C_{n}^{i}) 的表达式，并且 (|C_{n}^{i}| = |C_{n - 1}^{i - 1}| + |C_{n - 3}^{i - 1}|)。
  • 为了避免递归计算 (|C_{n}^{i}|) 时的指数级复杂度，我们构造了生成函数 (f(x, y) = \frac{x^4y^2(4 + y^2 + xy + 3x^2 + x^2y^2)}{1 - xy - x^3y})，对于自然数 (n \geq 4)，当 (n - 2\lfloor\frac{n}{3}\rfloor\leq i \leq n) 时，(|C_{n}^{i}|) 是该函数级数展开式中 (x^ny^i) 的系数。
• 受限支配多项式的计算
  • 循环图 (C_n) 的受限支配多项式 (D_r(C_n, x)) 定义为 (D_r(C_n, x) = \sum_{i =