18、数值方法在假设检验与边际分布计算中的应用

数值方法在假设检验与边际分布计算中的应用

1. 复合假设检验中的积分计算

在进行复合假设检验时，需要计算积分比 (V)，公式如下：
[V = \frac{\int_{X_0} \bar{p}(x|y, C)dx/\hat{c}}{\int_{X_1} \bar{p}(x|y, C)dx/\hat{c}}]
为了计算该比值，我们先生成 (m) 个随机向量 (x_i)，然后分别对 (x_i \in X_0) 和 (x_i \in X_1) 的重要权重 (w_i) 进行求和，得到估计值 (\hat{V})：
[\hat{V} = \frac{\sum_{x_i \in X_0} w_i}{\sum_{x_i \in X_1} w_i}]
对于复合假设检验中的其他积分以及点零假设检验中的积分，也需要进行相应的求解。若要通过置信区域检验点零假设，需根据特定公式确定置信区域边界的密度值 (p_B)。

2. 边际分布的计算方法

2.1 第一种方法

当仅需对未知参数 (x) 的子集 (x_1) 进行估计、建立置信区域或检验假设时，可通过蒙特卡罗积分从后验联合密度函数 (p(x_1, x_2|y, C)) 确定后验边际密度函数 (p(x_1|y, C))：
[p(x_1|y, C) = \int_{X_2} p(x_1, x_2|y, C)dx_2]
具体步骤如下：
1. 生成随机向量 (x_1) 的随机变量 (x_{1i})。
2. 由于使用的是非归一化的密度函数 (\bar{p}(x_1, x_2|y, C)) 和边际密度函数 (\bar{p}(x_1|y, C))，需求解积分：