10、线性模型中的参数估计与假设检验

线性模型中的参数估计与假设检验

1. 已知方差因子的线性模型

在已知方差因子的线性模型中，我们可以通过添加观测值来更新先验信息。对于参数 $\beta$ 的递归估计，若 $\beta$ 和 $\hat{\beta}$ 加上索引 $m$，将索引 1 替换为 $m - 1$，索引 2 替换为 $m$，就能得到 $\beta_m$ 由 $\hat{\beta} m$ 从 $\hat{\beta} {m - 1}$ 进行递归估计的公式。

$\beta$ 的 $1 - \alpha$ 置信超椭球由下式给出：
[(\beta - \hat{\beta})’(X’PX + \Sigma^{-1})(\beta - \hat{\beta})/\sigma^2 = \chi^2_{1 - \alpha;u}]

同时，我们可以利用后验分布对 $\beta$ 进行假设检验。例如，对于点零假设：
[H_0 : H\beta = w]
[H_1 : H\beta \neq w]
可通过 $H\beta$ 的置信超椭球进行检验，该超椭球由下式确定：
[(H\beta - H\hat{\beta})’(H(X’PX + \Sigma^{-1})^{-1}H’)^{-1}(H\beta - H\hat{\beta})/\sigma^2 = \chi^2_{1 - \alpha;r}]

若满足以下条件，则接受点零假设：
[(H\hat{\beta} - w)’(H(X’PX + \Sigma^{-1})^{-1}H’)^{-1}(H\hat{\beta} - w)/\sigma^2 < \chi^2_{1