16、信号采样定理：原理、应用与误差分析

信号采样定理：原理、应用与误差分析

1. 时间平均与弱平稳性

在信号处理中，时间平均和弱平稳性是两个重要的概念。对于任意时间的实函数 (g(t))，在区间 ([a,b]) 上的平均值 (g_{ave}) 满足矩形面积 (g_{ave}(b - a)) 等于曲线在 (a) 到 (b) 之间的面积，即 (g_{ave} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} g(t)dt)。样本函数 (x(t)) 的时间平均是其在 ([0,T]) 上的平均值当 (T) 趋于无穷大时的极限。

弱平稳性是随机过程 (X(t)) 的一种性质，其均值 (E[X(t)] = m(t)) 在所有时间 (t) 上是一个固定常数 (m)，并且自相关函数也与时间无关，即 (R_{XX}(t, t + \tau) = R_{XX}(s + t, s + t + \tau)) 对于任意 (s) 都成立，因此 (R_{XX}(t, t + \tau) = R_{XX}(0, \tau) = R_{XX}(\tau))。

2. 采样定理概述

大多数源于物理现象的信号是模拟信号，而大多数计算引擎是数字的。将模拟信号转换为数字信号很简单，只需进行采样。从这些样本中恢复原始信号以及评估采样过程中丢失的信息，是采样定理要解决的基本问题。

采样定理的基本结果是，一个带限信号可以由其足够接近且等间隔的样本唯一确定。实际上，采样定理说明了如何根据样本和采样率来恢复原始信号。采样定理的普及归功于香农（Shannon），他在 1948 年用它证明了带限信号的信息内容与离散数字序列的等价性。香农也了解惠特克（Whittaker）及其儿子在制定采样定理方面的开创性工作，同时科捷利尼