15、棋类谜题与战术问题的研究进展

棋类谜题与战术问题的研究进展

1. 4 - 色BoxOff游戏的NP完全性证明

在4 - 色BoxOff游戏中，若存在一个满足的赋值，所有可变输出都为激活状态，扇出会被清除，连接路径上的转向也会被清除，从而可以清空整个棋盘；若不存在满足的赋值，最终的与门小装置无法通过信号传播清除，且覆盖网格确保该装置无法以其他方式清除。

该问题的归约是多项式的，公式中的每个逻辑运算符对应一个与门或或门小装置，每个文字对应一个变量或扇出。可以将每个变量、辅助变量、与门、或门和扇出放置在各自的行和列中。如果允许相同数量的行和列用于布线，任何小装置的输出最多通过四次转向和一个颜色改变小装置就能连接到其他小装置的输入。因此，所需的行和列数量是输入规模的多项式。每个容器的大小（即覆盖石头的间距）也只需是输入规模的多项式。

BoxOff显然属于NP问题，因为解决方案是一个多项式长度的配对列表，并且可以很容易地验证。

下面通过一个例子来说明转换过程，考虑公式 $(x ∨y) ∧(x ∨¬y) ∧(¬x ∨y)$：
- 试验赋值x和y都为假 ：
- 由于x为假，从变量小装置x（位于K3）发出的水平向右输出信号与K4处的红色石头匹配，信号接着到达J12处或门小装置的下部输入，再到J14处的颜色改变小装置，经过J15处的转向小装置，最终到达I15处与门小装置的下层输入。
- 从位于D6的变量小装置y出发，输出到达D7处的转向，沿着箭头到达G10处或门小装置的上部输入，然后可以离开该装置到达F13处与门小装置的下部输入。
- 由于D11处的或门小装置没有激活输入，这两个信号无法继续移动，F13和I15处的与门小装置都没有激活的