素数筛合集

1.判断素数傻瓜式（暴力枚举）

时间复杂度O（n*n）

#include<stdio.h>
int main()
{
	int n;
	int i,j;
	
	scanf("%d",&n);
	for (i=2;i<=n;i++)
	{
		for (j=2;j<i;j++)
			if (i%j==0)
				break;
		
		if (j==i)
			printf("%d ",i);
	}
	return 0;
 } 

2.聪明一点的会用因子偶对性

原理说明：因数都是成对出现的。比如，100的因数有：1和100、2和50、4和25、5和20、10和10。即成对的因数，其中一个必然小于等于100的开平方，另一个大于等于100的开平方。因此只要判断2~sqrt(n)的因数即可，换言之就是只要一个整数m在区间[2,√m]没有因子，这个数就是素数。

时间复杂度为O(n*sqrt(n))

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int n;
	int i,j;
	int k;
	scanf("%d",&n);
	for (i=2;i<=n;i++)
	{
		k=sqrt(i);
		for (j=2;j<=k;j++)
			if (i%j==0)
				break;
		
		if (j==k+1)
			printf("%d ",i);
	}
	return 0;
 } 

3.素数筛打表（埃拉托斯特尼法）

要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于 根号n 的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。
步骤
详细列出算法如下（用25举例）：
列出2以后的所有序列：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
将剩下序列中，划掉2的倍数，序列变成：
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
如果这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。
本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划掉，主序列变成：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
我们得到的素数有：2，3
25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，主序列成了：
2 3 5 7 11 13 17 19 23
我们得到的素数有：2，3，5 。
因为23小于5的平方，跳出循环.
结论：2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

常规代码 此筛选法的时间复杂度是O(nloglogn)

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int i,j;
	int a[1000];
	int n;
	
	scanf("%d",&n);
	
	for (i=2; i<=n; i++)
		a[i]=1;
	
	for (i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if (a[i])
		{
			for (j=2;j*i<=n;j++)
				a[j*i]=0;
		}
	 } 
	 
	for (i=2;i<=n;i++)
		if(a[i])
			printf("%d ",i); 
	return 0;
 } 

优化 ：大于2的素数全是奇数

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	unsigned int a[6500],n;
	unsigned int i,j;
	
	scanf("%d",&n);
	
	for (i=2;i<=n;i++)
		a[i]=1;
	
	for (j=3;j<=n;j++)
	{
		if (j%2==0)
			a[j]=0;
	}
	
	for (i=3;i<sqrt(n);i=i+2)
	{
		for (j=i*i;j<=n ;j=j+2)
		{
			if(a[i]&&a[j])
			{
				if (j%i==0)
					a[j]=0;
			 } 
		}
			
	}
	
	for (i=2; i<=n; i++)
		if (a[i])
			printf("%d ",i); 
	return 0;
 } 

4线性筛——欧拉Euler筛(时间复杂度为O(n)）

上面介绍的筛法效率很高，但不足之处也比较明显，手动模拟一遍就会发现，很多数被处理了不止1遍，因此又造成了比较大的不必要处理。下面就是改进之后的筛法：

素数筛通过素数去标记掉合数来筛选素数，但是由于一个合数是由多个素数相乘得到，因此势必会被标记多次。这就会使得时间复杂度在一定程度上有所增加。而线性筛的目的就是避免多次标记合数，以达到时间复杂度的提高。

线性筛通过某一个合数的最大因子去标记这个合数，一个合数的最大因子总是唯一的，因此就可以避免多次标记的可能。
通常的，一个最大因子对应了好几个合数，也就是说，好几个合数的最大因子是相同的。例如，我们取最大因子25，那么最大因子为25的合数有50、75和125。

那么如何通过最大因子去确定这个合数？

首先，我们知道合数可以由多个素数相乘得到，假设一个合数由n个素数相乘得到，那么它的最大因子一定是由其中最大的n-1个素数相乘得到，而最小因子就是剩余的那个素数。因此当我们知道这个最大因子之后，我们只需要知道剩余的那个最小因子便可以获取该最大因子对应的合数。很显然，剩余的最小因子是一个小于等于最大因子中最小因子的素数。

例如上面讲到的最大因子25，可以表示为5*5，由两个素数5相乘得到，因此25的最小因子是5。小于等于5的素数分别有2、3、5。而25作为最大因子所对应的合数中，50 = 5 ∗ 5 ∗ 2 50=5*5*250=5∗5∗2，2是合数50的最小因子；75 = 5 ∗ 5 ∗ 3 75=5*5*375=5∗5∗3，3是合数75的最小因子；125 = 5 ∗ 5 ∗ 5 中，5是合数125的最小因子。可见所有被标记的合数的最小因子都是小于等于合数最大因子中最小因子的值。

再例如最大因子是35，可以表示为7*5，因此35的小因子是5，而使得35成为最大因子的合数的最小因子的可能就有2、3、5。因此通过35可以标记的合数有70=35*2 105=35*3 175=35*5

对于2开始的自然数序列：2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , ⋯ ⋯ 
我们首先取到2并将其加入素数数组进行储存，接着我们将2当做最大因子去标记合数，最大因子2的最小因子也是2，因此2能标记的合数的最小因子也只能是2，如果大于2，2就不是这个合数的最大因子了，与我们的假设违背。因此我们通过最大因子2和最小因子2标记掉了合数2 ∗ 2 = 4 
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , ⋯ ⋯ 

接着我们取下一个数字3。将其作为最大因子去标记合数，3的最小因子是3，小于等于3的素数有2和3，因此我们将3最为被标记合数的最大因子，2和3作为被标记合数的最小因子，可以标记掉3 ∗ 2 = 6 和3 ∗ 3 = 9 
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16……
接着我们通过5可以标记掉5 ∗ 2 = 10 、 5 ∗ 3 = 10 、 5 ∗ 5 = 25 ，以此递推下去便可以标记掉所有合数，且每个合数只被标记掉一次。
 

#include<stdio.h>

int main()
{
	int a[100000002]={0},b[1002];
	int  n;
	int i,j;
	int k=0;
	
	scanf("%d",&n);

	for (i=2;i<=n;i++)
	{
		if (a[i]==0)
			b[k++]=i;

		for (j=0;j<k;j++)
		{
			if (i*b[j]>n)
				break; 
			a[i*b[j]]=1;
			if (i%b[j]==0)
				break;
		 } 
	 } 
	printf("%d",k);
			
	return 0;
}