高阶线性微分方程

高阶线性微分方程

1. 线性微分方程的一般理论

形如
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=f(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
，其中$a_i(t)$及$f(t)$都是区间$\left[a,b\right]$的连续函数，叫做$n$阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程

如果$f(t)\equiv 0$，则方程变为
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
称为$n$阶其次线性微分方程，简称齐次线性微分方程，我们通常把$(2)$叫做对应于方程$(1)$的齐次线性微分方程

1.1 齐次线性微分方程

叠加原理：如果$x_1(t)，x_2(t)，...，x_k(t)$是方程$(2)$的$k$个解，那么他们的线性组合
$$c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+...+c_k{x}_k(t)$$
也是方程$(2)$的解，这里$c_i$是常数，$i=1,2,...k$

特别的，当$k=n$时，即方程$(2)$有解
$$x=c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_n{x}_n(t)$$
朗斯基行列式

定义了在区间$[a,b]$上的$k$个可微$k-1$次的函数$x_1(t)，x_2(t)，...，x_k(t)$所作成的行列式
$$\begin{array}{rlrl}& W\left[x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_k(t)\right]& & \\ \equiv & W(t)\equiv \left|\begin{array}{cccc}{x}_1(t)& x_2(t)& \cdots & x_k(t)\\ x_1^{\prime }(t)& x_2^{\prime }(t)& \cdots & x_k^{\prime }(t)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{(k-1)}(t)& x_2^{(k-1)}(t)& \cdots & x_k^{(k-1)}(t)\end{array}\right|& & \end{array}$$
称为这些函数的朗斯基行列式

如果这些函数线性相关，则朗斯基行列式在区间上恒为0

一般逆定理不成立，但是如果这些函数是齐次线性微分方程的解，则逆定义也成立

如果这些函数线性无关并且是齐次线性微分方程的解，则朗斯基行列式在区间上恒不为0

推论：齐次方程的所有解构成一个$n$维线性空间.

基本解组

如果$x_1(t)，x_2(t)，...，x_n(t)$是齐次线性微分方程的$n$个线性无关的解，则$x_1(t)，x_2(t)，...，x_n(t)$叫做齐次线性微分方程的基本解组，特别的，当$W(t_0)=1$时称其为标准基本解组

1.2 非齐次线性微分方程

考虑到
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=f(t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
和它的齐次方程
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
解的关系，可以得到以下两条性质：

性质1：如果$\bar{x}(t)$是方程$(1)$的解，而$x(t)$是$(2)$的解，则$\bar{x}(t)+x(t)$也是方程$(1)$的解.

性质2：方程$(1)$的两个任意两个解的差必为方程$(2)$的解.

所以我们可以通过齐次方程的通解加非齐次方程的特解来表示非齐次方程的通解

定理：设$x_1(t)，x_2(t)，...，x_n(t)$为齐次方程的基本解组，而$\bar{x}(t)$是非齐次方程的一个特解，则非齐次方程的通解可以表示为
$$x=c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)+\cdots +c_n{x}_n(t)+\bar{x}(t)\text{\hspace{1em}(*)}$$
我们应用常数变易法，将齐次方程通解中的常数都变为一个关于$t$的函数来代表非齐次方程的一个特解.
$$x=c_1(t)x_1(t)+c_2(t)x_2(t)+\cdots +c_n(t)x_n(t)$$
经过计算得到
$$\left(\begin{array}{cccc}{x}_1(t)& x_2(t)& \cdots & x_k(t)\\ x_1^{\prime }(t)& x_2^{\prime }(t)& \cdots & x_k^{\prime }(t)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{(k-1)}(t)& x_2^{(k-1)}(t)& \cdots & x_k^{(k-1)}(t)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }(t)\\ c_2^{\prime }(t)\\ ⋮\\ c_n^{\prime }(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ f(t)\end{array}\right)$$
通过克莱姆法则解出来$c_i(t)$代入，就可以求得方程的一个特解

接下来代入$(\ast )$式，即可得到非齐次方程的通解.

2. 常系数线性微分方程的解法

2.1 常系数线性微分方程

形如
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_{n}x=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$a_i,i=1,2,...,n$为常数叫做常系数齐次线性微分方程

2.2 常系数齐次线性微分方程的特征根法

在方程$(3)$中，将$\frac{d^{i}x}{d{t}^i}$变为${\lambda }^i$，得到的方程即为特征方程

所以方程$(3)$的特征方程为
$${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda +a_n=0\text{\hspace{1em}(4)}$$
特征方程的根叫做特征根.

下面我们对特征根的情况进行讨论.

①特征根是单根的形式

设${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$是特征方程$(4)$的$n$个彼此不相等的实数根，相应的方程$(3)$就有如下$n$个解：
$$e^{{\lambda }_{1}t},e^{{\lambda }_{2}t},\cdots ,e^{{\lambda }_{n}t}$$
因为这$n$个解线性无关，则方程$(3)$的通解可表示为
$$x=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}+\cdots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$$
其中$c_1,c_2,\cdots ,c_n$为任意常数

假设特征方程有复根$\alpha \pm i\beta$,则对应的解为
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_1=\alpha +i\beta & \to x_1=e^{\alpha t}\cos \beta t\\ {\lambda }_2=\alpha -i\beta & \to x_2=e^{\alpha t}\sin \beta t\end{array}$$
②特征根有重根的情形

设特征方程有$k$重根$\lambda ={\lambda }_1$，则对应的$k$个解分别为
$$e^{{\lambda }_{1}t},t{e}^{{\lambda }_{1}t},t^2{e}^{{\lambda }_{1}t},\cdots ,t^{k-1}{e}^{{\lambda }_{1}t}$$
对应复根也一样，如果特征方程有$k$重根$\alpha \pm i\beta$，则对应的方程的$2k$个解分别为
$$\begin{gathered} e^{\alpha t}\cos \beta t,t{e}^{\alpha t}\cos \beta t,\cdots ,t^{k-1}{e}^{\alpha t}\cos \beta t \\ {e}^{\alpha t}\sin \beta t,t{e}^{\alpha t}\sin \beta t,\cdots ,t^{k-1}{e}^{\alpha t}\sin \beta t \end{gathered}$$
例题

1.求方程$\frac{{\mathrm{d}}^{3}x}{\mathrm{d}{t}^3}-3\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+3\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-x=0$的通解.

特征方程为${\lambda }^3-3{\lambda }^2+3\lambda -1=0$，即$\lambda =1$是三重根，因此方程的通解为
$$x=c_1{e}^t+c_{2}t{e}^t+c_3{t}^2{e}^t$$
其中$c_1,c_2,c_3$为任意常数.

2.求方程$\frac{d^{4}x}{\mathrm{d}{t}^4}+2\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+x=0$.

特征方程为${\lambda }^4+2{\lambda }^2+1=0$，即$({\lambda }^2+1{)}^2=0$，即特征根$\lambda =\pm i$是二重根，因此方程的通解为
$$x=c_1\cos t+c_{2}t\cos t+c_3\sin t+c_{4}t\sin t$$
其中$c_1,c_2,c_3,c_4$为任意常数.

2.3 欧拉方程

形状为
$$x^n\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}+a_1{x}^{n-1}\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}y}{\mathrm{d}{x}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_{n}y=0\text{\hspace{1em}(5)}$$
的方程称为欧拉方程，这里$a_1,a_2,\cdots ,a_n$为常数.此方程通过变换$t=\ln |x|$可以变为常系数齐次线性微分方程.

$t=\ln |x|$那么
$$\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}\text{,}\\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dt}\frac{dt}{dx}=e^{-t}\frac{d}{dt}\left(e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)=e^{-t}\left(-e^{-t}\frac{dy}{dt}+e^{-t}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)=\frac{\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}}{e^{2t}}\\ \cdots \end{array}$$
最终可以变成
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{t}^n}+b_1\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}y}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +b_{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+b_{n}y=0.$$
求出方程的解
$$y=f(t,c_1,c_2,\cdots ,c_n)$$
再反代入$t=\ln |x|$即为原方程的通解.

2.4 非齐次线性微分方程的比较系数法

形如
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_{n-1}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_{n}x=f(t)\text{\hspace{1em}(6)}$$
的方程称为常系数非齐次线性微分方程 ，在这里$f(t)$是连续函数.

考虑到这是非齐次方程，非齐次方程的通解可以由齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加而成，方程对应的齐次方程我们可以用特征方程法来求出通解，如果$f(t)$是某种特殊函数，我们可以用比较系数法来求方程的一个特解

类型 I

设$f(t)=P_m(t)e^{\lambda t}$，其中$\lambda$及$b_i$为常实数，$P_m(t)$是一个$m$次多项式，那么方程$(6)$就有形如
$$\bar{x}=t^k{Q}_m(t)e^{\lambda t}$$
的特解，其中$k$为特征方程$F(\lambda )=0$的根$\lambda$ 的重数（单根相当于$\lambda =1$，不是特征根相当于$\lambda =0$，而$Q_m(t)$是一个$m$次多项式，可以设为$Q_m(t)=A_0{t}^m+A_1{t}^{m-1}+\cdots +A_{m-1}t+A_m$.然后将$\bar{x}$代入到方程中通过比较相同项的系数从而得到$A_i$，进而得到方程的特解.

例： 求$\frac{{\mathrm{d}}^{3}x}{\mathrm{d}{t}^3}+3\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+3\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x={\mathrm{e}}^{-t}(t-5)$的通解.

特征方程${\lambda }^3+3{\lambda }^2+3\lambda +1=(\lambda +1{)}^3=0$有三重根$\lambda =1$，所以原方程有形状为$\bar{x}=t^3(Ax+B)e^{-t}$的特解，将他带入方程得
$$A=-\frac{5}{6},B=\frac{1}{24}$$
从而$\bar{x}=\frac{1}{24}{t}^3(t-20)e^{-t}$.故方程的通解为
$$x=(c_1+c_{2}t+c_3{t}^2)e^{-t}+\frac{1}{24}{t}^3(t-20)e^{-t}$$
其中$c_1,c_2,c_3$为任意常数

类型II

设$f(t)=[A(t)\cos \beta t+B(t)\sin \beta t]e^{\alpha t}$,其中$\alpha ,\beta$为常数，而$A(t),B(t)$是带实系数$t$的多项式，他们其中一个的次数为$m$，另一个的次数不超过$m$，那么我们有如下结论：方程有形如
$$\bar{x}=t^k[P(t)\cos \beta t+Q(t)\sin \beta t]e^{\alpha t}$$
的特解，这里的$k$是特征方程$F(\lambda )=0$的根$\alpha +i\beta$的重数，而$P(t),Q(t)$均为待定的带实系数的次数不高于$m$的多项式

解法依然和类型I相同，代入比较系数.

例1：$x^{\prime \prime }+6x^{\prime }+5x=e^{2t}$

解：对应齐次方程为
$$x^{\prime \prime }+6x^{\prime }+5x=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
齐次方程对应的特征方程为
$${\lambda }^2+6\lambda +5=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
解得${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-5$
所以$(1)$的通解为$$x^{\ast }=c_1{e}^{-t}+c_2{e}^{-5t}$$
因为$2$不是特征方程$(2)$的根，所以设方程的一个特解为
$$\bar{x}=A{e}^{2t}\text{\hspace{1em}(3)}$$
将特解代入原方程得到
$$21A{e}^{2t}=e^{2t}$$
解得$A=\frac{1}{21}$

所以$\bar{x}=\frac{1}{21}{e}^{2t}$是方程的一个特解

所以方程的通解为
$$x=x^{\ast }+\bar{x}=c_1{e}^{-t}+c_2{e}^{-5t}+\frac{1}{21}{e}^{2t}$$

例2：$x^{\prime \prime }-2x^{\prime }+3x=e^{-t}\cos t$

解：原方程对应的齐次方程是$$x^{\prime \prime }-2x^{\prime }+3x=0\text{\hspace{1em}(1)}$$

对应的特征方程为$${\lambda }^2-2\lambda +3=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

解得${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=-1$

所以$(1)$的通解为$x^{\ast }=c_1{e}^{3t}+c_2{e}^{-t}$

因为$-1\pm i$不是特征方程$(2)$的根，所以设特解为$\bar{x}=e^{-t}(A\cos t+B\sin t)$

代入方程得

$$e^{-t}[(-4B+5A)\cos t+(4A+5B)\sin t]=e^{-t}\cos t$$
则有
$$\{\begin{array}{r}5A-4B=1,\\ 4A+5B=0\end{array}$$
解得
$$\{\begin{array}{r}A=\frac{5}{41},\\ B=-\frac{4}{41}\end{array}$$

所以$\bar{x}=\frac{1}{41}{e}^{-t}(5\cos t-4\sin t)$是方程的特解

所以方程的通解
$$x=x^{\ast }+\bar{x}=c_1{e}^{3t}+c_2{e}^{-t}+\frac{1}{41}{e}^{-t}(5\cos t-4\sin t)$$

3. 高阶微分方程的降阶

类型I

方程有形状
$$F(t,x^{(k)},\cdots ,x^{(n)})=0$$
如果令$x^{(k)}=y$则方程变为关于$y$的$n-k$阶方程
$$F(t,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-k)})=0$$
如果能求得上式的通解
$$y=\phi (t,c_1,c_2,\cdots ,c_{n-k})$$
即
$$x^{(k)}=\phi (t,c_1,c_2,\cdots ,c_{n-k})$$
通过$n$次积分得到
$$x=\psi (t,c_1,c_2,\cdots ,c_n)$$
其中$c_1,c_2,\cdots ,c_n$为任意常数，即为方程的通解

特别地，二阶方程不显含$x$，则利用变换$x^{\prime }=y$便把方程化为一阶方程

类型II

不显含自变量$t$的方程，可降一阶
$$F(x,x^{\prime },\cdots ,x^{(n)})=0$$
令$x^{\prime }=y$则有
$$F(x,y,\cdots ,y^{(n-1)})=0$$
类型III

齐次线性微分方程
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}x}{\mathrm{d}{t}^n}+a_1(t)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}x}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +a_n(t)x=0$$
如果我们知道$k$个线性无关的特解，则可以让方程降低$k$阶.

设$x_1,x_2,\cdots ,x_k$是上式的$k$个线性无关的解，令$x=x_{k}y$代入则会让方程降一阶.