关于Lyapunov李雅普诺夫判据——系统原点平衡状态大范围渐近稳定

最新推荐文章于 2025-03-16 17:18:06 发布

作家细胞才是黄金细胞

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分类专栏：课程学习文章标签：李雅普诺夫稳定性非线性系统广义能量函数控制理论系统稳定性

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研一上学期在现代控制理论课程学习中，接触到了一种题型，“用李雅普诺夫判据判断系统稳定性”，其中判断给定非线性系统大范围渐近稳定上来就是四个步骤，记录一下自己的理解。

不论述完整内容，仅表达一些问题看法和思考角度。

基本知识：

李雅普诺夫稳定性定理：

$V\left ( x \right )$ 正定；
$\dot{V}\left ( x \right )$ 负定；
当 $\left \| x \right \|\rightarrow \ \infty$ 时， $V\left ( x \right )\rightarrow \infty$ ，

则证明给定的非线性系统原点平衡状态 $x_{e}=0$ 大范围渐进稳定。

那么，选取的候选Lyapunov函数 $V\left ( x \right )$ 正定易知，这个 $\dot{V}\left ( x \right )$ 你让他乖乖负定还真难搞。总有些不乖的情况， $\dot{V}\left ( x \right )$ 半负定/负半定了，上述李雅普诺夫判据不好用了。

第一个理解点：

正定： $V\left ( 0 \right )=0 ; V\left ( x \right )>0, \forall x_{1}\neq 0,x_{2}\neq 0$ ；
负定： $\dot{V}\left ( 0 \right )=0;\dot{V}\left ( x \right )< 0,\forall x_{1}\neq 0,x_{2}\neq 0$ ；
半负定(有省略)：说白了，本来只有x=0能让我的导数为0。现在除了0以外，有其他奇怪的点让导数为0了。

$\dot{V}\left ( 0 \right )=0;\dot{V}\left ( x \right )= 0,\left \{ \forall x_{1}\neq 0,x_{2}= 0 \right \} or \left \{ \forall x_{2}\neq 0,x_{1}= 0 \right \}$

没有科学家们解决不了的问题，于是出现了广义能量函数。只要：

$V\left ( \phi \left ( t;x_{0},t_{0} \right ) \right )\not\equiv 0$ ，

然后巴拉巴拉，系统还是大范围渐近稳定的。什么意思啊，怎么就不恒为零就可以了？

第二个理解点：

系统的能量是衰减的，最终都会衰减到零。

有奇怪的点让我的导数为零，系统能量不衰减了？我还没衰减到零啊喂！

把奇怪的点带到状态方程中看一看，发现使得状态方程为零的点还是只有原点而已。哦还好还好，奇怪的点只是让我系统的能量一段时间不变化、不衰减而已(即不恒为零中等于零的时候)，最终我系统的能量还是会衰到零的，这在控制系统里还是比较常见的。所以，系统：我还是大范围渐近稳定的~(￣▽￣)~*。

封面图片来自：知乎 J Pan

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