离散型概率分布

补充知识

——wikipedia

伯努利试验：

是只有两种可能结果（成功或失败）的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言：

$$P(X=1)=p$$
$$P(X=0)=1-p$$

伯努利过程：

• 是一系列独立同分布的伯努利试验，每个$X_i$的2个结果也被称为“成功”或“失败”。

• 是一个由有限个或无限个的独立随机变量 $X_1, X_2, X_3 ,… $所组成的离散时间随机过程，其中 $X_1, X_2, X_3 ,… $满足如下条件：

• 对每个i, $X_i$ 等于 0 或 1；
• 对每个i, $X_i=1$ 的概率等于 p；

与伯努利过程相关的随机变量有：

• 只有一次伯努利试验发生服从伯努利分布。
• 前 n 个试验的成功次数服从二项分布。
• 要得到 r 次成功所需要的试验次数服从负二项分布。
• 要得到 1 次成功所需要的试验次数服从几何分布，这是负二项分布的一个特例。

伯努利分布

背景引入:

在实际中的案例结果往往只有两种结果（正、反）。例如：抛硬币、明天下不下雨、买彩票中奖与不中奖、疾病生存还是死亡、合格与不合格等等。这样的事件便是伯努利试验。

定义：

伯努利分布（Bernoulli distribution）又名两点分布或0-1分布，是一个离散型概率分布，是最简单的离散型概率分布。若伯努利随机试验成功，则伯努利随机变量取1。若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为0。记其成功概率为p，失败概率为q=1-p。

概率密度函数：

$$f(X=x)=p^x(1-p{)}^{1-x}=\{\begin{array}{l}p,x=1\\ q,x=0\end{array}$$

期望：

$$E(X)=\sum _{i=0}^1{x}_i{f}_X(x)$$
$$E(X)=0+p$$
$$E(X)=p$$

方差：

D ( X ) = ∑ i = 0 1 ( x i − E ( X ) ) 2 f X ( x ) D(X)=\sum_{i=0}^{1}(x_i-E(X))^2f_X(x) D(X)=i=0∑1​(xi​−E(X))2f