离散型随机变量的概率分布

这一小节我们一起学习几个离散型随机变量里的特殊的概率分布：几何分布、二项分布和泊松分布。

几何分布

乘风破浪的姐姐最近正在热播，还记得万茜小姐姐第一次个人solo的那段吉他弹唱吗？第一次她在台上弹错了，第二次虽然也有失误，但算是完整地弹了下来，假定她没有失误完成弹唱的概率是0.2，可以彩排两次，试一次或者两次就能成功的概率是多大？（如果第一次直接成功，则不进行第二次）

这是个概率的问题，还记得上一小节的内容吗？可以画个图来理解下这个问题。

已知:

P(X=1) =P(第一次成功) = 0.2

即第一次弹唱就能成功的概率是0.2。

如何求第一次没成功第二次才成功的概率呢？就是：

P(X=2) = P(第二次成功且第一次失败) = 0.2 x 0.8 = 0.16

回到问题本身，她试弹一次或者两次就能成功的概率是多少呢？加一起:

P(X=1) + P(X=2) = 0.36

这是假设她试弹不超过3次的前提下成功的概率，那如果要求她试弹10次，100次呢？一个一个算也是可以的，但未免太麻烦了些，通过前人一次一次算的过程中总结的规律，得到了几何分布的概率可以用如下公式快速计算：

p是成功的概率，q是失败的概率（1-p），结合到我们的案例里，p就是0.2,q就是0.8，有了这个公式，就不用我们一个一个算就能得出一个一劳永逸的方法了。

回过头来我们再想一下这个案例有什么特点，也就能得出符合什么条件可以使用几何分布了：

• 进行一系列相互独立的试验
• 每次试验可能成功，也可能失败，且单次试验成功的概率相同
• 我们研究的主要是为了取得第一次成功需要进行多少次试验

代入到这个案例里就特别明显了，每次弹唱彩排都是相互独立的，每次弹唱可能成功也可能失败，且单次成功的概率都是0.2，而我们重点关心的则是首次成功需要进行多少次试验。

下面是几何分布的形状，可以看出来，其实仅尝试一次就成功的概率是最大的。

二项分布

假设总共有5个单选题，每个问题都有4个选项，每回答对一题的概率是0.25，回答对1到题的概率是多少呢？

回答对一道题有3种情况：

• 第一题答对，第二题第三题答错，概率是：0.25x0.75x0.75
• 第一题答错，第二题答对，第三题答错，概率是：0.75x0.25x0.75
• 第一题答错，第二题答错，第三题答对，概率是：0.75x0.75x0.25

归纳一下，P(X=1) = 3x0.75^2x0.25
这是回答对1道题，那么回答对5道题，r道题呢？

类似上述这种单选题一样包含两个结果（答对或答错）的试验其随机变量服从的分布就是二项分布，它们的特征可总结如下：

• 一系列独立试验
• 每次试验可能成功，也可能失败，且单次试验成功的概率相同（同几何分布）
• 试验次数有限

满足二项分布模型后，X表示n次试验中的成功次数，如果要求成功r次的其概率可以用如下公式快速计算：

其中，

它的形状是这样的，可以看出图形比较对称。

对比几何分布

相同：

• 都是独立试验
• 每次试验都有成功或失败

不同：

• 几何分布：取得首次成功前要试验多少次
• 二项分布：试验次数固定，求成功次数的概率

泊松分布

在一定时间范围内或指定面积/体积内某一事件出现的次数的分布，就属于泊松分布。

比如某企业每月发生事故的次数，单位时间内到底某一柜台的客户人数。

这与几何分布、二项分布不同，它没有一系列的试验，它是已知某一事件在特定区间内的平均发生次数，求发生r次事件的概率，符合泊松分布的条件是这样的：

• 单独事件在给定时间/空间内随机、独立地发生
• 已知该时间/空间内的事件发生率 入

满足泊松分布后，X表示给定区间内事件发生次数，发生率为 入，那么求给定区间内发生r次事件的概率就可以用如下公式计算：

泊松分布的形状取决于入的值，入越小，分布越向右偏斜，随着入变大，分布会月对称：

比如某企业每月发生事故的次数是3.4次，要求下周不发生事故的概率，不发生事故的意思就是X=0，那么：