多重背包问题 II

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

没有看过多重背包问题可以去看看我的上一篇博客：多重背包问题1。球球了

那么我们为什么不能用上一个问题的方法呢，因为数据范围是很大。
时间复杂度是1000乘2000乘2000，那么就是40亿，而C++最多可以处理一亿个数据，所以一定会超时。那么我们就可以用二进制优化。
怎么优化呢？

比如s=1024，即这一组物品的个数。那么我们想一想真的需要从0枚举到1024吗，答案是否定的！我们可以将这些物品打包成10组。每一组最多只能选一次。
那么这些组数为1,2,4,…,512. 我们就可以用这些组数来拼凑出从0~1024的任意一个数字（如果用第一组，则我们可以拼凑出0到1这些数，那么我们再加上第二组，那么我们就可以拼凑出来2到3这些数，合起来就是0到3，以此类推我们就可以得到0到1024之间任意一种情况）。

所以说优化就是:把所有的这些物品划分成若干组，每一组只能选或者不选。是不是和01背包一模一样呢？

自此，优化就完成了。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 25000,M=2010;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s)
        {
            cnt++;
            v[cnt]=k*a;
            w[cnt]=k*b;
            s-=k;
            k *= 2;
        }
        if(s>0)//如果最后s还有剩余，那么加上剩余的s就是完整的物品数。
        {
            cnt++;
            v[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
            
        }
    }
    n=cnt;
     for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;