5. 多重背包问题 II(acwing)

5. 多重背包问题 II

题目描述

有 N种物品和一个容量是 V的背包。

第 i种物品最多有 s_i 件，每件体积是 v_i，价值是 w_i。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 v_i,w_i,s_i，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N≤1000

0<V≤2000

0<v_i,w_i,s_i≤2000

提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

动态规划

一维数组

三重循环（超时）

这段代码是用于解决多重背包问题的，它使用了动态规划（DP）的方法，并且通过二进制的思想对多重背包问题进行了优化。不过，请注意，这个代码并没有实际使用二进制优化，而是使用了一个普通的三重循环方法。下面我会注释这段代码，但也会提到二进制优化原理。

#include<bits/stdc++.h>  // 包含了几乎所有常用的库
using namespace std;

// 定义三个数组，分别存储物品的体积、价值和数量
int v[1010], w[1010], s[1010];
// 定义一个一维数组dp，用于存储背包的容量与可达到的最大价值
int dp[2020];

int main()
{
   
   
    int n, m;  // n为物品种类，m为背包容量
    cin >> n >> m;  // 输入物品数量和背包容量
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> w[i] >> v[i] >> s[i];  // 输入每个物品的体积、价值和数量
    // 遍历每种物品
    for(int i=1; i<=n; i++)
        // 从背包容量开始向下遍历，这样可以确保每个物品只选择一次
        for(int j=m; j>=w[i]; j--)
            // 遍历可以选择的物品数量，注意不超过背包容量和物品数量限制
            for(int k=0; k<=s[i] && k*w[i]<=j; k++)
                // 更新dp[j]为不选择或选择k个第i种物品的最大值
                // dp[j-k*w[i]]+k*v[i]表示选择k个第i种物品的价值
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*w[i]]+k*v[i]);
    // 输出背包容量为m时的最大价值
    cout << dp[m