P8814 [CSP-J 2022] 解密-----题解

P8814 [CSP-J 2022] 解密

[CSP-J 2022] 解密

题目描述

给定一个正整数 $k$，有 $k$ 次询问，每次给定三个正整数 $n_i,e_i,d_i$，求两个正整数 $p_i,q_i$，使 $n_i=p_i\times q_i$、$e_i\times d_i=(p_i-1)(q_i-1)+1$。

输入格式

第一行一个正整数 $k$，表示有 $k$ 次询问。

接下来 $k$ 行，第 $i$ 行三个正整数 $n_i,d_i,e_i$。

输出格式

输出 $k$ 行，每行两个正整数 $p_i,q_i$ 表示答案。

为使输出统一，你应当保证 $p_i\le q_i$。

如果无解，请输出 NO。

样例 #1

样例输入 #1

10
770 77 5
633 1 211
545 1 499
683 3 227
858 3 257
723 37 13
572 26 11
867 17 17
829 3 263
528 4 109

样例输出 #1

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

提示

【数据范围】

以下记 $m=n-e\times d+2$。

保证对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le {10}^5$，对于任意的 $1\le i\le k$，$1\le n_i\le {10}^{18}$，$1\le e_i\times d_i\le {10}^{18}$
，$1\le m\le {10}^9$。

测试点编号	$k\le$	$n\le$	$m\le$	特殊性质
$1$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	保证有解
$2$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	无
$3$	$10^3$	$10^9$	$6\times 10^4$	保证有解
$4$	$10^3$	$10^9$	$6\times 10^4$	无
$5$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	保证有解
$6$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	无
$7$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证若有解则 $p=q$
$8$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证有解
$9$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无
$10$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无

【题目解析】

• 先看数据范围，n的数据范围在$10^{18}$以内，从而在定义相关数据时需要用到长整型long long。与之相关的数据有p、q、d、e。
• 选择策略：一般在csp-j中第二题会有一些难度，我们可以先选择普通枚举来完成，如果出现超时问题再更改策略。

【枚举法】
由于$p\ast q=n$且$p<=q$,那么我们可以从1开始枚举p,范围是$1<=p<=sqrt(n)$。之后可以使用第二个公式进行判等，出现结果就停止枚举。
参考程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k;
long long n,d,e,p,q;
int main(){
   cin>>k;
   for(int i=1;i<=k;i++){
   	cin>>n>>d>>e;
   	int flag=0;
   	for(long long j=1;j<=sqrt(n);j++){
   		p=j;
   		if(n%p==0){
   			q=n/p;
   		}else{
   			continue;
   		}
   		if(e*d==(p-1)*(q-1)+1){
   			flag=1;
   			cout<<p<<" "<<q<<endl;
   			break;
   		}
   		
   	}
   	if(flag==0)cout<<"NO"<<endl;
   }
   return 0;
}

这种方法得到的结果只有6个测试点通过，其余均为超时问题。我们需要更改策略。
题目中给出一个提示—>$m=n-e\times d+2$
学习过方程的同学不难算出，此时m的值即为p与q的和。
那么我们就得到两个式子:（1）$p+q=n-e\times d+2$ （2）$p\ast q=n$
不妨使用二分法来进行查找合适的p：

1.判断条件为：当pq==n时，输出合适的结果；
2. 当pq<n时，p的范围为[p+1,r]；
3.当p*q>n时，p的范围为[l,p-1]；
4.如果在这个过程中没有得到答案，那么输出“NO”。

参考程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k;
long long n,d,e,p,q;
int main(){
	cin>>k;
	
	for(long long i=1;i<=k;i++){
		cin>>n>>d>>e;
		long long flag=0;
		//出现超时问题
		//二分算法求解
		long l,r,p;
		l=1;r=sqrt(n);
		while(l<=r){
			p=(l+r)/2;
			q=n-e*d+2-p;
			if(p*q==n) {flag=1;cout<<p<<" "<<q<<endl;break;}
			else if(p*q<n) l=p+1;
			else r=p-1;
		}
		if(flag==0)cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}

换成二分法之后就可以成功AC啦。