Mean squared error MSE即方差

本文详细介绍了在数据拟合和预测分析中常用的误差指标,包括SSE(误差平方和)、MSE(均方误差)、RMSE(均方根误差)及R-square(确定系数),并解释了这些指标的计算方法和意义。

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MSE是网络的性能函数,网络的均方误差,叫"Mean Square Error"。 比如 有n对输入输出数据,每对为[Pi,Ti],i=1,2,...,n.网络通过训练后有网络输出,记为Yi。   在相同测量条件下进行的测量称为等精度测量,例如在同样的条件下,用同一个游标卡尺测量铜棒的直径若干次,这就是等精度测量。对于等精度测量来说,还有一种更好的表示误差的方法,就是标准误差。    标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根,故又称为均方误差 。   设n个测量值的误差为ε1、ε2……εn,则这组测量值的标准误差σ等于:

  数理统计中均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值,记为MSE

 

SSE(和方差、误差平方和):The sum of squares due to error
MSE(均方差、方差):Mean squared error
RMSE(均方根、标准差):Root mean squared error
R-square(确定系数):Coefficient of determination
Adjusted R-square:Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination

下面我对以上几个名词进行详细的解释下,相信能给大家带来一定的帮助!!

一、SSE(和方差)
该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和,计算公式如下
SSE,MSE,RMSE,R-square(转)

SSE越接近于0,说明模型选择和拟合更好,数据预测也越成功。接下来的MSE和RMSE因为和SSE是同出一宗,所以效果一样

二、MSE(均方差)
该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值,也就是SSE/n,和SSE没有太大的区别,计算公式如下
mse.gif 

三、RMSE(均方根)
该统计参数,也叫回归系统的拟合标准差,是MSE的平方根,就算公式如下
rmse.gif 

在这之前,我们所有的误差参数都是基于预测值(y_hat)和原始值(y)之间的误差(即点对点)。从下面开始是所有的误差都是相对原始数据平均值(y_ba)而展开的(即点对全)!!!

四、R-square(确定系数)
在讲确定系数之前,我们需要介绍另外两个参数SSR和SST,因为确定系数就是由它们两个决定的
(1)SSR:Sum of squares of the regression,即预测数据与原始数据均值之差的平方和,公式如下
ssr.gif 
(2)SST:Total sum of squares,即原始数据和均值之差的平方和,公式如下
sst.gif 
细心的网友会发现,SST=SSE+SSR,呵呵只是一个有趣的问题。而我们的“确定系数”是定义为SSR和SST的比值,故
rsquare.gif 

其实“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道“确定系数”的正常取值范围为[0 1],越接近1,表明方程变量对y的解释能力越强,这个模型对数据拟合的也较好

### 关于二维MSE损失函数 #### 定义与公式 均方误差(Mean Squared Error, MSE)是一种常用的回归问题损失函数,用于衡量模型预测值与真实值之间的差异。对于二维情况下的MSE,其计算方式是对每一对预测值和真实值分别按维度求平方差并取平均。具体而言,假设存在一组样本数据 \( \{(x_1^{(i)}, y_1^{(i)}), (x_2^{(i)}, y_2^{(i)})\} \),其中 \( i = 1, 2, ..., n \) 表示第 \( i \) 个样本,则二维MSE可以表示为: \[ \text{MSE}_{2D} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((y_1^{(i)} - \hat{y}_1^{(i)})^2 + (y_2^{(i)} - \hat{y}_2^{(i)})^2) \] 这里的 \( y_1^{(i)} \) 和 \( y_2^{(i)} \) 是目标的真实值,而 \( \hat{y}_1^{(i)} \) 和 \( \hat{y}_2^{(i)} \) 则是对应的预测值[^4]。 #### 应用场景 在机器学习领域,尤其是涉及多维输出的任务中,二维MSE被广泛应用于评估模型性能以及优化参数调整过程。例如,在图像处理任务中的超分辨率重建、光流估计等问题上,由于这些任务通常需要同时考虑多个特征维度上的精度,因此采用二维甚至更高维度形式的MSE作为评价标准显得尤为重要[^5]。 另外,在深度学习框架下解决物理模拟相关问题时——比如前面提到过的利用卷积神经网络(CNNs)进行流体力学仿真分析案例里也会涉及到此类度量工具的应用情景[^1]。 #### 实现方法 以下是基于Python语言的一个简单实现例子,展示了如何在一个小型数据集上计算二维MSE: ```python import numpy as np def mse_2d(y_true, y_pred): """ Calculate Mean Squared Error for 2-dimensional outputs. Parameters: y_true : array-like of shape (n_samples, 2) Ground truth (correct) target values. y_pred : array-like of shape (n_samples, 2) Estimated target values. Returns: float: The mean squared error between `y_true` and `y_pred`. """ diff_sq_sum = np.sum((y_true[:,0]-y_pred[:,0])**2 + (y_true[:,1]-y_pred[:,1])**2) return diff_sq_sum / len(y_true) # Example usage if __name__ == "__main__": true_values = np.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]]) predicted_values = np.array([[1.1, 1.9], [2.8, 4.1]]) result = mse_2d(true_values, predicted_values) print(f"The 2D-MSE Loss is {result}") ``` 上述代码片段定义了一个名为`mse_2d`的功能函数,它接收两个形状相同的数组作为输入参数,并返回它们之间依据前述公式的均方误差数值结果[^6]。
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