P2386 放苹果（洛古）

放苹果

题目描述

把 $m$ 个同样的苹果放在 $n$ 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法。（$5,1,1$ 和 $1,1,5$ 是同一种方法）

输入格式

第一行是测试数据的数目 $t$，以下每行均包括二个整数 $m$ 和 $n$，以空格分开。

输出格式

对输入的每组数据 $m$ 和 $n$，用一行输出相应的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1
7 3

样例输出 #1

8

样例 #2

样例输入 #2

3
3 2
4 3
2 7

样例输出 #2

2
4
2

提示

对于所有数据，保证：$1\le m,n\le 10$，$0\le t\le 20$。

【算法分析】

当苹果数<=盘子数时，问题转化为i个苹果放到i个盘子里。

当苹果数>盘子数时，分为两种情况：（1）无空盘，（2）有空盘

【递推算法分析】

使用i和j分别表示苹果数和盘子数，建立表格如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	2	2	2	2	2	2
3	1	2	3	3	3	3	3	3
4	1	3	4	5	5	5	5	5
5	1	3	5	6	7	7	7	7
6	1	4	7	9	10	11	11	11
7	1	4	8	11	13	14	15	15
8	1	5	10	15	18	20	21	22

（1）当盘子数为1时，只有一种情况。

（2）当苹果数为1时，只有一种情况。

（3）当苹果数<=盘子数时，问题转化为i个苹果放在i个盘子中，即$f[i][j]=f[i][i]=f[i][i-1]$。

（4）当苹果数>盘子数时，分为两种情况：

• 不需要有盘子为空，即$f[i-j][j]$。
• 需要有盘子为空,即$f[i][j-1]$。
• 即问题转化为

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[15][15];
int main(){
   int t;
   int x,y;
   cin>>t;
   for(int i=1;i<=10;i++){
	   	f[1][i]=1;
	   	f[i][1]=1;
   }
  
   for(int j=2;j<=10;j++)
		for(int k=2;k<=10;k++)
			if(j<=k){
				f[j][k]=f[j][j-1]+1;
			}else{
				f[j][k]=f[j-k][k]+f[j][k-1];
			}
   
   for(int i=1;i<=t;i++){
   	cin>>x>>y;   
    cout<<f[x][y]<<endl;
   }
    return 0;
}

【递归算法分析】

• 当盘子数量或者苹果数量为1时，方案数为1；
• 当苹果数<盘子数时，方案转化为f(x,x);
• 当苹果数=盘子数时，方案数为f(x,x-1)+1;
• 当苹果数>盘子数时，两种情况：（1）有空盘f(x,y-1), (2)无空盘f(x-y,y)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int x,int y){
	if(x==1||y==1)return 1;
	if(x<y) return f(x,x);//苹果<盘子
	if(x==y) return 1+f(x,y-1);//苹果==盘子
	if(x>y) return f(x,y-1)+f(x-y,y);
}
int main(){
   int t;
   int x,y;
   cin>>t;
   for(int i=1;i<=t;i++){
   	cin>>x>>y;
   	cout<<f(x,y)<<endl;
   }
    return 0;
}