快速阶乘算法（暂无实践）

Problem

模板题luogu5282

• 求 $n!modp$，$p$是质数
• 由于是任意模数，所以需要MTT。

$\sqrt{n}lo{g}^{2}n$

• 一种暴力 的方法是多项式加分块，设定一个块的大小$B$，以及这样一个多项式：
  $$f(x)=\prod _{i=1}^B(x+i)$$
• 那么答案就是$f(0)\ast f(B)\ast f(2B)\ast ...\ast f(n/B\ast B)\ast 最后剩下不超过B的部分的乘积$
• 直接利用多项式多点求值可以搞到$\sqrt{n}lo{g}^{2}n$的复杂度。

$\sqrt{n}logn$

• 直接求系数实在是太慢了，我们可以考虑另一种多项式的优秀处理方法——点值。
• 设$f_d(x)={\prod }_{i=1}^d(x+i)$，那么我们最后就是要求所有的$f_B(iB)$
• 利用倍增的思路，如果我们可以做到从$f_d(0,B..dB)$到$f_{2d}(0,B..2dB)$的乘二的转化，以及加一的转化，那么就可以倍增求出最后的$B$个点值了

乘二

• 对于$f_d(0,B...dB)$，首先需要变成$f_d(0,B...2dB)$.
• 然后再在对应位置上乘上$f_d(d,d+B...,d+2dB)$，就可以变成$f_{2d}(0,B...2dB)$
• 考虑第一步需要得到$f_d(dB...2dB)$，再综合第二步，都相当于是从$f_d(iB)$变成$f_d(iB+x)$
• 系统化得来说，假设$h(i)=f_d(iB)$，那么相当于我们已知$h(0..d)$，要求$h(0+x/B,1+x/B..d+x/B)$。
• 运用拉格朗日插值：
  $$h(\Delta +n)=\sum _{i=0}^{d}h(i)\prod _{j\ne i}\frac{\Delta +n-j}{i-j}$$
  $$=\prod _{j=0}^d(\Delta +n-j)\sum _{i=0}^d\frac{h(i)\ast (-1{)}^{n-i}}{i!(n-i)!}\ast \frac{1}{\Delta +n-i}$$
• 由于$d<=B$，所以不会出现$\Delta +n-j=i$的情况。后面可以直接FFT，前面的只需要用双指针扫一遍即可。

加一

• 从$f_d(0,B..dB)$到$f_{d+1}(0,B..dB,(d+1)B)$直接暴力即可。

时间复杂度

• $T(n)=T(n/2)+nlogn=O(nlogn)$