离散数学入门

[离散数学入门（集合，关系，元组）]

习题 1: { 0 , 1 , { 0 , 1 } , { 1 , 2 } } {0, 1, {0, 1}, {1, 2}}{0,1,{0,1},{1,2}} 有几个元素? 机器学习中, 这类形式的集合有什么优点和缺点?

答：该集合中有4个元素，分别是‘0’， ‘1’， ‘{0，1}’和‘{1, 2}’
优点：在机器学习过程中可以定义不同的标签0 , 1, 2…等，集合形式的数据表示可以有利于标签分类。
缺点：对于集合中的某一个标签来说，他的内容维度是不确定的会有高维度的数据处理起来较麻烦。

习题 2: ∅ 的基数是多少? { ∅ } 呢?

答：∅ 表示空集合，即集合内无元素所以基数是0
{∅ }表示一个集合中存在一个空集合，所以基数是1

习题 5: 多标签学习中, 输出为一个向量，相应的学习器算不算函数呢?

答：在多标签分类器中，一个实例的标签可以看做是该实例标签的集合，所以任然可以看做一个函数

习题 6: 元组只能表达对象的数据部分, 还是可以完整地表达? 用一个具体的程序来说明.

答：可以完整表达整个对象

if __name__ =='__main__':
    """定义一个类student：
    入学年份
    姓名
    专业
    性别
    专业成绩"""
    gread = (89, 78, 88)
    student = ('2017', 'zhangsan', 'automation', 'male', gread)
    print(student)

输出

习题 7: 定义二叉树.

非计算机专业的基础差，就从基础开始

什么是二叉树？
二叉树是一种特殊的树形结构，其特点是每个结点至多只有两颗子树，并且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
二叉树是n(n≥0)个结点的有限集合：其或者为空二叉树(n=0)，或者由一个根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树又分别是一棵二叉树。
二叉树是有序树，若将其左右子树颠倒，则成为另一棵不同的二叉树。即使树中结点只有一棵子树，也要区分是左子树还是右子树。其有五种基本形态如下：

(以上来源于网络)

Let $\Sigma$ = {l,r}\{\mathrm{l}, \mathrm{r}\}{l,r}be the alphbet and $\varphi$ be a null node. A binary tree is a triple T = $(\mathbf{V},r,c)$, where V={v1,…,vn}\bm{V} = \{v_1, \dots, v_n\}V={v1​,…,vn​}is the set of nodes, r$\in \mathbf{V}$is the root, and c:V∪{ϕ}×Σ+→V∪{ϕ}\bm{V} \cup \{\phi\} \times \Sigma^+ \to \bm{V} \cup \{\phi\}V∪{ϕ}×Σ+→V∪{ϕ}satisfying
a)c$(\varphi ,\mathrm{l})$ = c$(\varphi ,\mathrm{r})$ = $\varphi$;
b)∀v∈V∖{r}\forall v \in \bm{V} \setminus \{r\}∀v∈V∖{r} $\exists$ 1 s $\in {\Sigma }^{+}$
$st.c(r,s)=v$ ;
c)$\forall v\in \mathbf{V}$, $!\exists s\in {\Sigma }^{+}$
$st.c(v,s)=v$

习题 8: 定义带权无向图.

啥是图
从生活中的微信关系入手，以我为中心，与父母亲戚朋友形成一个关系网，以亲戚朋友各自为中心又会形成新的关系网。微信中，许许多多的用户组成了一个多对多的朋友关系网，这个关系网就是数据结构当中的图（Graph）。

图，是一种比树更为复杂的数据结构。树的节点之间是一对多的关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫节点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父谁是子。
图基本术语：
顶点之间的关联关系为非对称时称为有向图
（以上来源于网络）

A weighted undirected graph is a tuple $G_{\omega }$=$(V,\omega )$,where V={υ1,...,υn}V = \left\{\right.\upsilon_1,...,\upsilon_n\left\}\right.V={υ1​,...,υn​} is the set of nodes,ω:V×V→R+∪{0}\omega :V\times V \rightarrow \mathbb R^+∪\left\{\right.0\left\}\right.ω:V×V→R+∪{0} is the edge weight function，a)$\forall <{\upsilon }_i,{\upsilon }_j>$ $\subseteq$ $V\times V$ ,$\omega <{\upsilon }_i,{\upsilon }_j>$ = $\omega <{\upsilon }_i,{\upsilon }_j>$

习题 9. 考虑 $\varphi$, 重新写 Definition 7 以解决其存在的问题, 见其讨论 d).

Definition 7. A tree is a triple $T=(\mathbf{V},r,p)$, where V={v1,…,vn}\bm{V} = \{v_1, \dots, v_n\}V={v1​,…,vn​} is the set of nodes, $r\in \mathbf{V}$ is the root, and V∪{ϕ}∖{r}→\bm{V}\cup\{\phi\} \setminus \{r\}\toV∪{ϕ}∖{r}→ V∪{ϕ}\bm{V}\cup\{\phi\}V∪{ϕ}is the parent function satisfying
a) $\forall k\ge 1$, $p^k(v)\ne v$, and
b) ∀v∈V∖{r}\forall v \in \bm{V}\setminus\{r\}∀v∈V∖{r}, $\exists$ 1 $k\ge 1k\ge 1$, $st.p^k(v)=r$
c)if v={ϕ}v=\{\phi\}v={ϕ}, $\forall k\ge 1$, st.pk(v)={ϕ}st.p^k(v)=\{\phi\}st.pk(v)={ϕ}