集合论_集合代数

集合代数

解决问题

​ 在现代数学中,集合论是数学的基础,数学是其它学科的基础,集合论成为了基础的基础,可见其重要性

​ 在离散数学中,我们需要用集合表达各类离散量和离散量之间的关系

创建过程

• 朴素集合论(康托尔)
  • 时间:集合论创建之初,最开始创建的时候
  • 问题:存在多种悖论(罗素悖论…),引发了第三次数学危机
• 公理化集合论
  • 解决朴素集合论的问题
  • 利用一组公理定义集合,避免悖论的产生

组成部分

基本概念

集合定义

1. 定义

• A set is a group of objects. (simplest way)
• By a set we mean any collection M into a whole of definite distinct objects m (which we called elements of M) of our perception or of our thought. (Cantor’s way)
• 集合:是指由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成,每一个对象称为这个集合的元素
  • ZFC公理化集合论(策梅洛-弗兰克尔集合论):外延公理,空集存在公理,无序对公理,并集公理,幂集公理,无穷公理,替换公理,正则公理,选择公理;不含选择公理的则简写为ZF

2. 符号表示

   数学是一种符号语言,所以需要用符号表示集合

• 数学符号

  用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B,C,··· ,A 1 ,B 1 ,C 1 ,···
  用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a,b,c,··· ,a 1 ,b 1 ,c 1 ,···

• 常用集合

  自然数集合 N: 0,1,2,3,···
  整数集合 Z: ··· ,−2,−1,0,1,2,···
  有理数集合 Q 与实数集合 R，等等

3. 属于关系

​ 若 a 是集合 A 中的元素，则称 a属于A，记为 a ∈ A
​ 若 a 不是集合 A 中的元素，则称 a不属于A，记为 a / ∈ A

集合表示

• 枚举法:列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (···) 表示。

  A = {a,b,c,d}
  B = {2,4,6,8,10,···}
  

• 叙述法:通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。P = {x|P(x)}

  A = {x|x是英文字母中的元音字母}
  B = {x|x ∈ Z, x < 10}
  C = {x|x = 2k,k ∈ N}
  

• 文氏图:文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

集合基数

• 定义

  集合 A 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 |A|
  若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
  若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

• 示例

  A = {a,b,c}, |A| = 3
  B ={ a,{b,c} } , |B| = 2
  

集合关系

空集

1. 定义

   不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 ∅.
   空集可以符号化为 ∅ = {x|x ̸= x}.

2. 示例

   设 A = {x|x ∈ R,x 2 < 0}, 则 A = ∅
   |∅| = 0,|{∅}| = 1

3. 总结

   空集是绝对唯一的。

全集

1. 定义

   针对一个具体范围，我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set)，记作 U 或 E.
   在文氏图一般使用方形表示全集。

2. 示例

   在立体几何中，全集是由空间的全体点组成的；
   在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成的。

3. 总结

   全集是相对唯一的。

相等关系

1. 元素的基本特性

   集合中的元素是无序的。{1,2,3,4} 与 {2,3,1,4} 相同。
   集合中的元素是不同的。{1,2,2,3,4,3,4,2} 与 {1,2,3,4} 相同。

2. 外延性原理

   两个集合 A 和 B相等，当且仅当它们的元素完全相同，记为 A = B, 否则 A 和 B不相等，记为
   A ̸= B.

包含关系

子集和真子集

设 A,B 是任意两个集合，
如果 B 的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的子集，也称做B 被 A 包含或A 包含B，记作B ⊆ A，否则记作B ⊈ A.
如果 B ⊆ A 并且 A ̸= B，则称 B 是 A 的真子集，也称做B 被 A 真包含或A 真包含 B，记作B ⊂ A，否则记作B ̸⊂ A.

”⊆” 关系的数学语言描述为：B ⊆ A ⇔ 对 ∀x, 如果 x ∈ B, 则 x ∈ A.

证明集合相等

​ 设 A,B 为任意两个集合，则 A = B ⇔ A ⊆ B 并且 B ⊆ A

n 元集的子集

幂集

1. 定义

   设 A 为任意集合，把 A 的所有不同子集构成的集合叫做 A 的幂集(power set), 记作 P(A)，即，P(A) = {x|x ⊆ A},x ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A

2. 作用

   幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。

定理

1. 空集是一切集合的子集
2. 包含排斥原理:在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

集合运算

• 并集

• 交集

• 补集:设 U 是全集，则集合 A 的补集定义为：A = {x|x / ∈ A}

• 差集:设 A,B 是两个集合，则集合 A 与 B 的差集定义为：A − B = {x|x ∈ A 并且 x / ∈ B}

• 对称差集:设 A,B 是两个集合，则集合 A 与 B 的对称差集定义为：A ⊕ B = {x|(x ∈ A 并且 x / ∈ B)或者(x / ∈A 并且 x ∈ B)}

集合运算定律

设 U 为全集，A,B,C 为任意集合。

• A ∪ A = A,A ∩ A = A. (幂等律)
• A ∪ B = B ∪ A,A ∩ B = B ∩ A. (交换律)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. (结合律)
• A ∪ ∅ = A,A ∩ U = A. (同一律)
• A ∪ U = U,A ∩ ∅ = ∅. (零律)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (分配律)
• A ∪ (A ∩ B) = A,A ∩ (A ∪ B) = A. (吸收律)
• A ∩ A = ∅,A ∪ A = U. (矛盾律和排中律)
• A = A. (双重否定律)
• A ∪ B = A ∩ B,A ∩ B = A ∪ B. (德摩根律)

可数集合与不可数集合

1. 如何比较集合的大小？

   对于两个有限集合而言，比较二者的大小只需要看集合的基数，但对于无限集合
   却没有这么简单。如何比较无限集合的“大小”呢？这里需要采用一种通过判断
   两个无限集合之间是否存在一种一一对应的关系来解决这个问题。

等势

设 A,B 为两个集合，

若在 A,B 之间存在一种一一对应的关系：Ψ : A → B
则称 A 与 B 是等势的 (equipotential)，记作：A ∼ B

可数集合

凡与自然数集合 N 等势的集合，称为可数集合(countable set)，该集合的基数记为ℵ 0 (读作阿列夫零)

例:正奇数,素数,有理数集合是可数集合

不可数集合

开区间 (0,1)称为不可数集合，凡与开区间 (0,1) 等势的集合，称为不可数集合，该类集合的基数记为ℵ(读作阿列夫)

例:实数集合 R 是不可数集合