离散数学入门1

最新推荐文章于 2024-01-15 16:31:02 发布

原创最新推荐文章于 2024-01-15 16:31:02 发布 · 1.1k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

这篇博客介绍了离散数学的基础概念，包括集合的定义、基数、笛卡尔积和幂集。此外，还讨论了二元关系、函数的性质，以及元组在数据表示中的应用。通过对集合理论的理解，有助于深化对机器学习中多标签学习和数据结构的认识。

1.集合

1.1 集合的定义

集合：是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。

例如：

A={1,2,3,4}，描述了由1,2,3,4四个元素构成的集合A。

· 其中集合与元素的顺序无关。

· 集合中的元素是互异的，若一个集合中有多个相同元素则只能算作一个。

习题 1: { 0 , 1 , { 0 , 1 } , { 1 , 2 } }有几个元素? 机器学习中, 这类形式的集合有什么优点和缺点?

集合中各个元素通过逗号分隔，由此可见上题集合中有四个元素。

优点：有利于多标签学习

缺点：因其集合中的元素类别等不同，处理时会复杂一些。

1.2 基数

集合A中元素的个数，就是集合的基数，也称为集合的势，记作|A|。

习题 2: ∅ 的基数是多少? { ∅ }呢?

∅表示空集，即基数为零；{ ∅ }表示此集合中只有 ∅一个基数。

1.3 笛卡尔积

· 有序对：有两个元素x和y按一定顺序排列成的二元组叫做有序对或有序偶，记作<x,y>。称x，y分别为序偶的第一，第二元素。

· 笛卡尔积：设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积，记作AxB，表示为AxB={<x,y>|x∈A^y∈B}。

· 定理：若A，B都是有限集，且|A|=m，|B|=n，则|AxB|=|A|x|B|=mxn。

· 性质：笛卡尔积不满足交换律和结合律，对并和交运算满足分配率。

· 关系的表示：

三种方式：列举法，矩阵法，关系图法。

1.4 幂集

Definition 2. The power set of Ais given by
$2^{A}$ = { B ∣ B ⊆ A } .

所谓幂集，就是原集合A中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。

例：A={1,2,3}, 2 ^A ={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

2. 二元关系

Definition 3. Let A and B be two sets. Any R ⊆ A × B is a binray relation.

3. 函数

Definition 4. Let V 1 , … , V m be the domain of conditional attribute a 1 , … , am, respectively, and L be the set of classes. A classifier is a function f : V 1 × ⋯ × V m → L .

·函数是特殊的关系，它满足：

函数的定义域是domf=X，而不能是domf的某个真子集。
若<x,y>∈f，<x,y'>∈f，则y=y'（单值性）

·特别的：对空关系∅⊆AxB,

如果A=∅，空关系∅是函数

如果A≠∅，空关系∅不是函数

习题5：多标签学习中，输出为一个向量，相应的学习器算不算函数呢？

首先回答是肯定的。输入一个数据，通过映射得到相应的输出数据，虽然输出为一个向量，但是在机器学习里，其本身就是寻找一个个函数，通过函数和输入得到输出，所以相应的学习器算是一个函数。

4.元组

元组（tuple）是关系数据库中的基本概念，关系是一张表，表中的每行（即数据库中的每条记录）就是一个元组，每列就是一个属性，

其中图是最经典的元组，下面分别是有向图、无向图以及带权图的定义

Definition 5. A directed graph is a tuple $G_{d}$ = ( V , E ), where V = { $v_{1}$ , … , $v_{n}$ }is the set of nodes, and E ⊆ V × V is the set of edges，

Definition 6. An undirected graph is a tuple $G_{u}$ = ( V , E ) , where V = { $v_{1}$ , … , $v_{n}$ }is the set of nodes, E ⊆ V × V is the set of edges, and 〈 v i , v j 〉 ∈ E iff 〈 v j , v i 〉 ∈ E .

Definition 7. A weighted directed graph is a tuple $G_{w}$ = ( V , w ), where V = { $v_{1}$ , … , $v_{n}$ } is the set of nodes, and w : V × V → $\mathbb{R}^{+}$ ∪ { 0 } is the edge weight function.

习题6：元组只能表达对象的数据部分, 还是可以完整地表达 (既包括数据, 也包括方法/函数)? 用一个具体的程序来说明.

答案是可以完整表达。列子如下：

tup1 = ('computer', 'math', 11, 12)
tup2 = (1, 2)
tup3 = ('cm',tup1,tup2)
print("tup3: ",tup3)
print("tup1[0]: ", tup1[0])

tup3:  ('cm', ('computer', 'math', 11, 12), (1, 2))
tup1[0]:  computer
[Finished in 0.1s]

习题 7: 定义二叉树.

Let $\Sigma =\left \{ l,r \right \}$ be the alphbet and $\varnothing$ be a null node.Abinary tree is a triple $T=\left ( V,r,c \right )$ ,where $V=\left \{ v_{1,...,v_{2}} \right \}$ is the set of nodes, $r\in V$ is the root,and c: $V\cup \left \{ \O \right \}\times \Sigma ^{+}\rightarrow V\cup \left \{ \O \right \}$ satisfying

a) $\forall v\in V,!\exists \in \Sigma ^{+}$ st.c(v,s)=v;

b) $\forall v\in V\setminus \left \{ r \right \}iffr\neq \left \{ \O \right \}$ , $\exists ls\in \Sigma ^{+}st.c(r,s)=v$

习题 8: 定义带权无向图.

A weigheed undirected graph is a tuple $G_{w}=(V,w)$ ,where $V=\left \{ v_{1},...v_{n} \right \}$ is the set of nodes,and $w:V\times V\rightarrow \mathbb{R^{+}}\cup \left \{ 0 \right \}$ is theedge weight function satisfying $w\left ( v_{i} ,v_{j}\right )=w\left ( v_{j} ,v_{i}\right )$

习题9：重新考虑 $\O$ ，重新写Definition6 以解决其存在的问题，捡起讨论d)

A tree is a triple $T= \left ( V,r,p \right )$ and ∅ be a null node,where $V=\left \{ v_{1},...v_{n} \right \}$ is the set of nodes,r∈V is the root,and p: $V\setminus \left \{ r \right \}\rightarrow V$ is the parent function satisfying