离散数学入门1

1.集合

1.1 集合的定义

集合：是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。

例如：

A={1,2,3,4}，描述了由1,2,3,4四个元素构成的集合A。

· 其中集合与元素的顺序无关。

· 集合中的元素是互异的，若一个集合中有多个相同元素则只能算作一个。

习题 1: { 0 , 1 , { 0 , 1 } , { 1 , 2 } }有几个元素? 机器学习中, 这类形式的集合有什么优点和缺点?

集合中各个元素通过逗号分隔，由此可见上题集合中有四个元素。

优点：有利于多标签学习

缺点：因其集合中的元素类别等不同，处理时会复杂一些。

1.2 基数

集合A中元素的个数，就是集合的基数，也称为集合的势，记作|A|。

习题 2: ∅ 的基数是多少? { ∅ }呢?

  ∅表示空集，即基数为零；{ ∅ }表示此集合中只有 ∅一个基数。

1.3 笛卡尔积

· 有序对：有两个元素x和y按一定顺序排列成的二元组叫做有序对或有序偶，记作<x,y>。称x，y分别为序偶的第一，第二元素。

· 笛卡尔积：设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积，记作AxB，表示为AxB={<x,y>|x∈A^y∈B}。

· 定理 ：若A，B都是有限集，且|A|=m，|B|=n，则|AxB|=|A|x|B|=mxn。

· 性质 ：笛卡尔积不满足交换律和结合律，对并和交运算满足分配率。

· 关系的表示 ：

  三种方式：列举法，矩阵法，关系图法。

1.4 幂集

Definition 2. The power set of Ais given by
                                            = { B ∣ B ⊆ A } . 

所谓幂集，就是原集合A中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。

例：A={1,2,3}, 2 ^A ={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

2. 二元关系

Definition 3. Let A and B be two sets. Any R ⊆ A × B is a binray relation.

3. 函数 

Definition 4. Let V 1 , … , V m be the domain of conditional attribute a 1 , … , am, respectively, and L  be the set of classes. A classifier is a function f : V 1 × ⋯ × V m → L .

 ·函数是特殊的关系，它满足：

         函数的定义域是domf=X，而不能是domf的某个真子集。
         若<x,y>∈f，<x,y'>∈f，则y=y'（单值性）

·特别的：对空关系∅⊆AxB,

         如果A=∅，空关系∅是函数