第十四届蓝桥杯大赛软件赛省赛（Java 大学B组）

肖有量

已于 2023-05-08 17:04:34 修改

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文章标签：蓝桥杯算法 Java

于 2023-05-07 16:30:27 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43449564/article/details/130543099

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文章介绍了多项编程竞赛中的难题，包括如何计算阶乘和幸运数字、数组分割、矩形总面积、蜗牛运动路径优化、合并区域和最大开支等。这些问题涉及到了动态规划、贪心算法、图论和数学思维，旨在测试和提升程序员的算法设计和问题解决能力。

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试题 A: 阶乘求和

本题总分： $5$ 分

【问题描述】

令 $S = 1! + 2! + 3! + ... + 202320232023!$ ，求 $S$ 的末尾 $9$ 位数字。
提示：答案首位不为 $0$ 。

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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通过竖式易知当 $n!|10^9$ 时， $n!$ 对答案无贡献，我们将 $n!$ 表示成 $2^k5^g\frac {n!}{2^k5^g}$ 可知 $g\geq9$ 时 $n!|10^9$ 成立，而当 $n\geq40$ 时 $\frac {n!}{2^95^9}$ 有整数解。
有结论 $\sum_{n=1}^{40}n!\equiv\sum_{n=1}^{202320232023}n! \pmod{10^9}$

public class Main {
   

    public static void main(String ...args) {
    new Main().run(); }

    void run() {
   
        long ans = 0, fac = 1;
        for (int i = 1; i < 40; ++i) {
   
            fac = i * fac % 1000000000;
            ans = (ans + fac) % 1000000000;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

试题 B: 幸运数字

本题总分： $5$ 分

【问题描述】

哈沙德数是指在某个固定的进位制当中，可以被各位数字之和整除的正整数。例如 $126$ 是十进制下的一个哈沙德数，因为 $(126)_{10} \operatorname{mod}\ (1+2+6) = 0$ ； $126$ 也是八进制下的哈沙德数，因为 $126)_{10} = (176)_8$ ， $(126)_{10} \operatorname{mod}\ (1 + 7 + 6) = 0$ ；同时 $126$ 也是 $16$ 进制下的哈沙德数，因为 $126)_{10} = (7e)_{16}$ ， $(126)_{10} \operatorname{mod}\ (7 +e) = 0$ 。小蓝认为，如果一个整数在二进制、八进制、十进制、十六进制下均为哈沙德数，那么这个数字就是幸运数字，第 $1$ 至第 $10$ 个幸运数字的十进制表示为： $\cdots$ 。现在他想知道第 $2023$ 个幸运数字是多少？你只需要告诉小蓝这个整数的十进制表示即可。

【答案提交】

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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没啥头绪，开搜

public class Main {
   

    public static void main(String ...args) {
    new Main().run(); }

    int getDivisor(int n, int d) {
   
        int divisor = 0;
        for (; n > 0; n /= d)
            divisor += n % d;
        return divisor;
    }

    boolean isLucker(int n) {
   
        if (n % getDivisor(n, 2) != 0) return false;
        if (n % getDivisor(n, 8) != 0) return false;
        if (n % getDivisor(n, 10) != 0) return false;
        if (n % getDivisor(n, 16) != 0) return false;
        return true;
    }

    void run() {
   
        long cnt = 0, target = 2023;
        for (int n = 1; ; ++n) {
   
            if (isLucker(n) && ++cnt == target) {
   
                System.out.println(n);
                break;
            }
        }
    }
}

试题 C: 数组分割

时间限制: $1.0\mathrm s$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分： $10$ 分

【问题描述】

小蓝有一个长度为 $N$ 的数组 $[A_0, A_1, \cdots, A_{N−1}]$ 。现在小蓝想要从 $A$ 对应的数组下标所构成的集合 $I = \{0, 1, 2, . . . , N − 1\}$ 中找出一个子集 $R_1$ ，那么 $R_1$ 在 $I$ 中的补集为 $R_2$ 。记 $S_1 =\sum_{r\in R_1}A_r，S_2 =\sum_{r\in R_2}A_r$ ，我们要求 $S_1$ 和 $S_2$ 均为偶数，请问在这种情况下共有多少种不同的 $R_1$ 。当 $R_1$ 或 $R_2$ 为空集时我们将 $S_1$ 或 $S_2$ 视为 $0$ 。

【输入格式】

第一行一个整数 $T$ ，表示有 $T$ 组数据。
接下来输入 $T$ 组数据，每组数据包含两行：第一行一个整数 $N$ ，表示数组 $A$ 的长度；第二行输入 $N$ 个整数从左至右依次为 $A_0, A_1, \cdots, A_{N−1}$ ，相邻元素之间用空格分隔。

【输出格式】

对于每组数据，输出一行，包含一个整数表示答案，答案可能会很大，你需要将答案对 $1000000007$ 进行取模后输出。

【样例输入】

【样例输出】

4
0

【样例说明】

对于第一组数据，答案为 $4$ 。（注意：大括号内的数字表示元素在数组中的下标。）
$R_1 = \{0\}, R_2 = \{1\}$ ；此时 $S_1 = A_0 = 6$ 为偶数, $S_2 = A_1 = 6$ 为偶数。
$R_1 = \{1\}, R_2 = \{0\}$ ；此时 $S_1 = A_1 = 6$ 为偶数, $S_2 = A_0 = 6$ 为偶数。
${ } R_1 = \{0,1\}, R_2 = \{\}$ ；此时 $S_1 = A_0 + A_1 = 12$ 为偶数, $S_2 = 0$ 为偶数。
$R_1 = \{\}, R_2 = \{0, 1\}$ ；此时 $S_1 = 0$ 为偶数, $S_2 = A_0 + A_1 = 12$ 为偶数。
对于第二组数据，无论怎么选择，都不满足条件，所以答案为 $0$ 。