第十三届蓝桥杯大赛软件赛决赛（Java 大学C组）

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试题 A: 斐波那契与 7

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  斐波那契数列的递推公式为$：$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中 $F_1=F_2=1$。

  请问，斐波那契数列的第 $1$ 至 $202202011200$ 项（含）中，有多少项的个位是 $7$。

【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个由大写字母组成的字符串，在提交答案时只填写这个字符串，填写多余的内容将无法得分。

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26960268160

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找循环节

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  找到斐波那契数列在个位上的循环节，然后将答案拆分成三部分就完事了。

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class Test {
   

	public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }
	
	long N = 202202011200L;
	
	void run() {
   
		Map<Integer, Integer> map = new HashMap();
		int[] cnt = new int[100];
		map.put(01, 1);
		int i, j, F1 = 0, F2 = 1, F3 = 0;
		for (i = 2; ; ++i) {
   
			F3 = (F1 + F2) % 10;
			cnt[i] = cnt[i - 1];
			if (F3 == 7) ++cnt[i];
			if (map.containsKey(F2 * 10 + F3)) break;
			map.put(F2 * 10 + F3, i);
			F1 = F2;
			F2 = F3;
		}
		j = map.get(F2 * 10 + F3);
		System.out.print(
			cnt[j - 1] +
			((N - j + 1) / (i - j)) * (cnt[i] - cnt[j]) +
			cnt[(int)(N % (i - j)) - j + 1]
			);
	}
}

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试题 B: 小蓝做实验

本题总分：$5$ 分

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【问题描述】

  小蓝很喜欢科研，他最近做了一个实验得到了一批实验数据，一共是两百万个正整数。如果按照预期，所有的实验数据 $x$ 都应该满足 $10^7\le x\le 10^8$。但是做实验都会有一些误差，会导致出现一些预期外的数据，这种误差数据 $y$ 的范围是 $10^3\le y\le 10^{12}$ 。由于小蓝做实验很可靠，所以他所有的实验数据中 $99.99\%$ 以上都是符合预期的。小蓝的所有实验数据都在 $primes.txt$ 中，现 在他想统计这两百万个正整数中有多少个是质数，你能告诉他吗？

【答案提交】

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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342693

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欧拉筛

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  首先排除 $\mathrm{Miller}$-$\mathrm{Robin}$，一般 $T$ 次询问的题目，$T$ 越大，对单次询问响应的复杂度要求越高，于是考虑欧拉筛线性筛出不大于 $1e8$ 的质数，$O(1)$ 响应 $99.99\%$ 的询问，而剩下询问中，$y$ 不会大于 $1e16$，利用因数的对称性，可以在 $O(\sqrt{y})$ 的复杂下响应。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.FileInputStream;

public class Test {
   

	public static void main(String[] args) {
    new Test().run(); }
	
	int i, N = (int)1e8, M = 0, cnt = 0;
	
	void run() {
   
		boolean[] composite = new boolean[N + 1];
		int[] prime = new int[(int)(1.1 * N / Math.log(N))];
		for (int n = 2; n <= N; ++n) {
   
			if (!composite[n]) 
				prime[M++] = n;
			for (int i = 0; i < M; ++i) {
   
				if (prime[i] * n > N) break;
				composite[prime[i] * n] = true;
				if (n % prime[i] == 0) break;
			}
		}
		try (BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(new FileInputStream("primes.txt")))) {
   
			while (true) {
   
				String line = in.readLine();
				if (line == null) break;
				long n = Long.parseLong(line);
				if (n > 1e8) {
   
					for (i = 0; prime[i] <= 1e6; ++i)
						if (n % prime[i] == 0) break;
					if (prime[i] > 1e6) ++ cnt;
				} else if (!composite[(int)n]) ++cnt;
			}
		} catch (Exception e) {
   
			e.printStackTrace();
		}
		System.out.print(cnt);
	}
}

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试题 C: 取模

时间限制: $3.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分：$10$ 分

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【问题描述】

  给定 $n,m$，问是否存在两个不同的数 $x,y$ 使得 $1\le x<y\le m$ 且 $n\mathrm{mod}x=n\mathrm{mod}y$。

【输入格式】

  输入包含多组独立的询问。

  第一行包含一个整数 $T$ 表示询问的组数。

  接下来 $T$ 行每行包含两个整数 $n,m$，用一个空格分隔，表示一组询问。

【输出格式】

  输出 $T$ 行，每行依次对应一组询问的结果。如果存在，输出单词 $\mathrm{Yes}$；如果不存在，输出单词 $\mathrm{No}$。

【样例输入】

3
1 2
5 2
999 99

【样例输出】

No
No
Yes

【评测用例规模与约定】

  对于 $20\%$ 的评测用例，$T\le 100，n,m\le 1000$；
  对于 $50\%$ 的评测用例，$T\le 10000，n,m\le 10^5$；
  对于所有评测用例，$1\le T\le 10^5，1\le n\le 10^9，2\le m\le 10^9$。

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中国剩余定理

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  假定 $n\ge m$，转换命题为，给定两个整数 $n,m$，$n\ge 1,m\ge 2$，问 $k=1,2,\cdots ,m$，$n\mathrm{mod}k$ 是否恰取遍 $[0,m-1]$，

  更近一步引出等价命题，$n\mathrm{mod}k\equiv k-1$ 是否在 $k\in [1,m)$ 下都成立，因为 $n\mathrm{mod}1\equiv 0$，$n\mathrm{mod}2$ 若想使上述命题为真，只能取 $1$，以此类推。

  于是有同余方程组，当 $n$ 满足下列方程组时，无论如何也找不到两个不同的数 $x,y$ 使得 $1\le x<y\le m$ 且 $n\mathrm{mod}x=n\mathrm{mod}y$。$$⎩$$