线性代数总结（一）

行列式

定义

行列式的逆序法定义

逆序：在一个$n$级排列$i_1{i}_2...i_s...i_t...i_n$中，若$i_s>i_t$,且$i_s$排在$i_t$前面，则称这两个数构成一个逆序

逆序数：一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作$\tau (i_1{i}_2...i_n)$。

奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数，该排列称为奇排列；排列的逆序数为偶数时，该排列称为偶排列。

n阶行列式的定义：

是由$n$个$n$维向量$a_i=[a_{i1},a_{i2},...,a_{in}]$组成的,其运算结果是以$n$个向量为邻边的$n$维图形的体积
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2...j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2...j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n}$$

行列式的展开定理

余子式：在$n$阶行列式中，去掉元素$a_{ij}$所在的第$i$行，第$j$列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的$n-1$阶行列式称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$

代数余子式：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

行列式按某一行(列)展开的展开公式
$$|A|=\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}\\ a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{in}{A}_{nj}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}\end{array}$$

行列式的性质

性质	描述
倒置	行列互换，其值不变，即$$\mid A\mid =\mid A^T\mid$$
	行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零
等比例	行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
拆和	行列式中某行列元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和(单行可拆)
互换	行列式中两行（列）互换，行列式的值反号
倍乘	行列式中某行（列）元素有公因子$k$，则$k$可提到行列式外面（单行倍乘）
倍加	行列式中某行（列）的$k$倍加到另一行（列），行列式的值不变

重要行列式

行列式	具体
主对角线行列式（上下三角）	$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right| \\ ={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii} \end{gathered}$$
副对角线行列式	$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n2}& a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& 0\end{array}\right| \\ =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1} \end{gathered}$$
拉普拉斯展开式	$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=\mid A\mid \mid B\mid \\ \left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\mid A\mid \mid B\mid \end{gathered}$$
范德蒙德行列式	$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\prod }_{1⩽i<j⩽n}(x_j-x_i)$

行列式的计算

名称	方法
两线，可多一点	直接展开
爪型	化为基本型
异爪	化为基本型，或者递推
行（列）和相等	将各列（行）加到第一列（行）
三对角行列式	递推
除对角元素外，其余元素相同或成比例	升阶(加边)

矩阵

矩阵

定义

由$m\times n$个数$a_{ij}$排成$m$行$n$列的矩形表格称为一个$m\times n$的矩阵，记作$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$

基本运算

基本运算
相等	$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}=B=(b_{ij}{)}_{s\times t},a_{ij}=b_{ij},m=s,n=t$
加法	$C=A+B=(a_{ij}{)}_{m\times n}+b_{ij}{)}_{m\times n}=(a_{ij}{)}_{m\times n},c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$
数乘矩阵	$kA=Ak=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$
矩阵的乘法	$A=(a_{ij}{)}_{m\times s},B=(b_{ij}{)}_{s\times n}\Rightarrow A\times B=C=(c_{ij}{)}_{m\times n}=({\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}{)}_{m\times n}$，不满足交换律
转置矩阵	$(A+B{)}^T=A^T+B^T,(AB{)}^T=B^T{A}^T$
向量的内积和正交	$\alpha =[a_1,a_2,...,a_n{]}^T,\beta =[b_1,b_2,...,b_n],{\alpha }^T\beta =(\alpha ,\beta )$为向量的内积，内积为零为正交
施密特标准正交化	${\beta }_1={\alpha }_1,{\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$,然后单位化即可
矩阵的幂	$A^m=AA...A(m次)$
矩阵的行列式	$$\mid AB\mid =\mid A\mid \mid B\mid 4$$

重要矩阵

矩阵	描述
零矩阵	$O$
单位矩阵	$E$
数量矩阵	$kE$
对角矩阵	非主对角元素全为0
上（下）三角矩阵
对称矩阵	$A^T=A$
反对称矩阵	$A^T=-A$
正交矩阵	$A^{T}A=E$
分块矩阵

矩阵的逆

• 定义：对于方正$AB$,$AB=E$,称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作$A^{-1}$。
• $A$可逆的充分必要条件是$\mid A\mid \ne 0$
• 重要性质
  • 如果$AB$互为可逆矩阵，则$AB=BA=E$
  • $A{A}^{-1}=A^{-1}A$
  • $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$
  • $A{A}^T\ne A^{T}A$
  • $(E-A)(E+A{)}^{\ast }=(E+A{)}^{\ast }(E-A)$
  • $(E-A)(E+A{)}^{-1}=(E+A{)}^{-1}(E-A),(E+A{)}^{-1}可逆$

求$A^{-1}$的方法
性质	$$\begin{gathered} (A^{-1}{)}^{-1}=A \\ (kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1} \\ (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1} \\ (A^T{)}^{-1}=(A^{{}_1}{)}^T \\ \mid A^{-1}\mid =\mid A{\mid }^{-1} \end{gathered}$$
通过伴随矩阵(具体型)	$A^{-1}=\frac{1}{\mid A\mid }{A}^{\ast }$
初等变换(具体型)	$$\begin{gathered} [A\mid E]\stackrel{初等行变换}{⟶}[E\mid A^{-1}] \\ \left|\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right|\stackrel{初等列变换}{⟶}\left|\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right| \end{gathered}$$
根据定义(抽象型)	$AB=E\Rightarrow A^{-1}=B$
将$A$拆分(抽象型)	$A=BC\Rightarrow A^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$
上下三角分块矩阵的逆	$$\begin{gathered} 主对角求逆，左乘同行右乘同列加负 \\ {\left|\begin{array}{cc}B& O\\ D& C\end{array}\right|}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}{B}^{-1}& O\\ -C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\end{array}\right|,{\left|\begin{array}{cc}B& D\\ O& C\end{array}\right|}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}{B}^{-1}& -B^{-1}D{C}^{-1}\\ O& C^{-1}\end{array}\right| \\ 副对角换位求逆，换位左乘同行右乘同列加负 \\ {\left|\begin{array}{cc}O& B\\ C& D\end{array}\right|}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}-C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right|,{\left|\begin{array}{cc}D& B\\ C& O\end{array}\right|}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}O& C^{-1}\\ B^{-1}& -B^{-1}D{C}^{-1}\end{array}\right| \end{gathered}$$
对角线分块矩阵的逆	${\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right|,{\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|}^{-1}=\left|\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right|$
二阶矩阵的伴随矩阵	主对调，副变号

伴随矩阵

$$A^{\ast }=\left|\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right|$$

$$\begin{array}{rl}& A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E\\ & |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}\\ & (A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T,(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast },(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T\\ & (kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast },(kA{)}^T=k{A}^T,(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1},|kA|=k^n|A|\\ & A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }\\ & A^{\ast }=|A|A^{-1}\\ & (A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A\\ & |(A^{\ast }{)}^{\ast }|=|A{|}^{(n-1{)}^2}\\ & (AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast },(AB{)}^T=B^T{A}^T,(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}\\ & a_{ij}=A_{ij}⟺A^{\ast }=A^T\end{array}$$

初等变换与初等矩阵

初等变换

• 倍乘：一个非零常数乘矩阵的某一行（列）
• 互换：互换矩阵中某两行（列）的位置
• 倍加：将矩阵的某一行（列）的$k$倍加到另一行（列）

初等矩阵

符号	简称	定义
$E_i(k)$	倍乘初等矩阵	表示单位矩阵$E$的第$i$行（列）乘以非零常数$k$倍
$E_{ij}$	互换初等矩阵	表示单位矩阵$E$交换第$i$行与第$j$行所得的初等矩阵
$E_{ij}(k)$	倍加初等矩阵	表示单位矩阵$E$的第$j$行的$k$倍加到第$i$行所得的初等矩阵或单位矩阵$E$的第$i$列的$k$倍加到第$j$列所得的初等矩阵(左行右列，左行向左加，右列向右加)

性质

• $\mid E_i(k)\mid =k,\mid E_{ij}\mid =-1,E_{ij}(k)=1$
• $E_{ij}^T=E_{ij},E_{ij}^T(k)=E_{ji}(k),E_i^T(k)=E_i(k)$
• $[E_i(k){]}^{-1}=E_i(\frac{1}{k}),E_{ij}^{-1}=E_{ij},[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$
• $$\begin{gathered} E_{ij}^{\ast }=\mid E_{ij}\mid E_{ij}^{-1}=-E_{ij} \\ {E}_{ij}(k{)}^{\ast }=\mid E_{ij}(k)\mid E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k) \\ {E}_i^{\ast }(k)=\mid E_i(k)\mid E_i^{-1}(k)=k{E}_i(\frac{1}{k}) \end{gathered}$$
• 若$A$是可逆矩阵，则$A$可表示成有限个初等矩阵的乘积
• 对$A$进行初等行变换,相当于矩阵$A$左乘相应的初等矩阵。对$A$进行初等列变换,相当于矩阵$A$右乘相应的初等矩阵。

等价矩阵

存在$P,Q$,使得$PAQ=B$,则$A,B$是等价矩阵，记作$A\cong B$

$A$的等价标准形
$$PAQ=\left|\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right|,r=r(A)$$

矩阵的秩

定义

设$A$是$m\times n$矩阵，若存在$k$阶子式不为零，而任意$k+1$阶子式全为零，则$r(A)=k$。

且若$A$为$n\times n$矩阵，则$r(A_{n\times n})=n⟺\mid A\mid \ne 0⟺A可逆$。

性质
0 ⩽ r ( A m × n ) ⩽ min ⁡ { m , n } r ( k A ) = r ( A ) r ( A ) = r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) r ( A B ) ⩽ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r ( A + B ) ⩽ r ( [ A , B ] ) ⩽ r ( A ) + r ( B ) r ( ∣ A O O B ∣ ) = r ( A ) + r ( B ) r ( A ) + r ( B ) ⩽ r ( ∣ A O C B ∣ ) ⩽ r ( A ) + r ( B ) + r ( C ) r ( A B ) ⩾ r ( A ) + r ( B ) − n r ( A ) = r ( A T ) = r ( A A T ) = r ( A T A ) r ( A ∗ ) = { n r ( A ) = n 1 r ( A ) = n − 1 0 r ( A ) < n − 1 A 2 = A ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) = n A 2 = E ⇒ r ( A + E ) + r ( A − E ) = n A x = 0 的基础解系所含向量个数 s = n − r ( A ) A ∼ Λ ⇒ n i = n − r ( λ i E − A ) , 其中 λ i 是 n i 重根 A ∼ Λ ⇒ r ( A ) = 非零特征值的个数 \begin{aligned} &0\leqslant r(A_{m\times n})\leqslant \min\{m,n\}\\ &r(kA)=r(A)\\ &r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)\\ &r(AB)\leqslant \min\{r(A),r(B)\}\\ &r(A+B)\leqslant r([A,B])\leqslant r(A)+r(B)\\ &r( \begin{vmatrix}\pmb A&\pmb O\\\pmb O&\pmb B\\\end{vmatrix} )=r(A)+r(B)\\ & r(A)+r(B)\leqslant r(\begin{vmatrix}\pmb A&\pmb O\\\pmb C&\pmb B\\\end{vmatrix}) \leqslant r(A)+r(B)+r(C)\\ &r(AB)\geqslant r(A)+r(B)-n\\ &r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)\\ &r(A^*)=\begin{cases} n & r(A)=n\\ 1 & r(A)=n-1\\ 0 & r(A)<n-1\\ \end{cases}\\ &A^2=A\Rightarrow r(A)+r(A-E)=n\\ &A^2=E\Rightarrow r(A+E)+r(A-E)=n\\ &Ax=0的基础解系所含向量个数s=n-r(A)\\ &A \sim \Lambda \Rightarrow n_i=n-r(\lambda_iE-A),其中\lambda_i是n_i重根\\ &A \sim \Lambda \Rightarrow r(A)=非零特征值的个数 \end{aligned} ​0⩽r(Am×n​)⩽min{m,n}r(kA)=r(A)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(AB)⩽min{r(A),r(B)}r(A+B)⩽r([A,B])⩽r(A)+r(B)r( ​AO​OB​ ​)=r(A)+r(B)r(A)+r(B)⩽r( ​AC​OB​ ​)⩽r(A)+r(B)+r(C)r(AB)⩾r(A)+r(B)−nr(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧​n10​r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1​A2=A⇒r(A)+r(A−E)=nA2=E⇒r(A+E)+r(A−E)=nAx=0的基础解系所含向量个数s=n−r(A)A∼Λ⇒ni​=n−r(λi​E−A),其中λi​是ni​重根A∼Λ⇒r(A)=非零特征值的个数​

线性方程组

齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots ++a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots ++a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots ++a_{mn}{x}_n=0\end{array}\text{\hspace{1em}(齐次方程组)}$$

$$\begin{gathered} x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0 \\ {\alpha }_j=[a_{1j},a_{2j},\cdots ,a_{mj}{]}^T\text{\hspace{1em}(向量形式)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A_{m\times n}x=0 \\ {A}_{m\times n}=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n] \\ x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T\text{\hspace{1em}(矩阵形式)} \end{gathered}$$

有解的条件

• 当$r(A)=n$,方程组有唯一零解
• 当$r(A)=r<n$时，方程组有非零解，且有$n-r$个线性无关解

解的性质

基础解系：

基础解系${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$满足

1. 是方程组$Ax=0$的解
2. 线性无关
3. 方程组$Ax=0$的任一解均可由${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$线性表出，$s=n-r(A)$

通解：$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_n{\xi }_n$是方程组的通解

求解步骤

1. 将系数矩阵$A$初等行变换成阶梯矩阵$B$，得到$r(B)=r(A)$
2. 按列找出一个秩为$r$的子矩阵，剩余列位置所表示的未知数设为自由变量
3. 求出基础解系和通解

非齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots ++a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots ++a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots ++a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}\text{\hspace{1em}(非齐次方程组)}$$

$$\begin{gathered} x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=b \\ {\alpha }_j=[a_{1j},a_{2j},\cdots ,a_{mj}{]}^T \\ b=[b_1,b_2,\cdots ,b_m{]}^T\text{\hspace{1em}(向量形式)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A_{m\times n}x=b \\ {A}_{m\times n}=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n] \\ x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T\text{\hspace{1em}(矩阵形式)} \end{gathered}$$

有解的条件

$r(A)\ne r([A,b])$	无解，此时$r([A,b])=r(A)+1$
$r(A)=r([A,b])=n$	唯一解
$r(A)=r([A,b])=r<n$	无穷多解

解的性质

设${\eta }_1,{\eta }_2,\eta$是$Ax=b$的解，$\xi$是$Ax=0$的解，则

• ${\eta }_1-{\eta }_2$是$Ax=0$的解

• $k\xi +\eta$是$Ax=b$的解

• 比齐次方程的解向量多了一个特解，线性无关的解向量也变成了$n-r+1=s+1$

求解步骤

1. 求出$Ax=0$的通解
2. 求出$Ax=b$的特解
3. $Ax=b$的通解：$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\eta$

克拉默法则

$\mid A\mid \ne 0,$未知数个数等于方程个数的非齐次的解，$D_i$为将系数行列式$D$的第$i$列换为自由项

$x_i=\frac{D_i}{D}$

解的判定

• 若$Ax=0$只有零解，则$r(A)=n(列满秩)\nRightarrow r([A,b])=n$，故$Ax=b$可能有解，可能无解
• 若$Ax=0$有无穷多解，则$r(A)<n(列不满秩)\nRightarrow r(A)=r([A,b])$，故$Ax=b$可能有解，可能无解
• 若$A$行满秩，则$r(A)=r([A,b])$，故$Ax=b$必有解
• 若$Ax=b$有唯一解，则$r(A)=r([A,b])=A$的列数，故$Ax=0$只有零解
• 若$Ax=b$有无穷多解，则$r(A)=r([A,b])<A$的列数，故$Ax=0$有非零解