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费马小定理在算法中的意义
1640 年，法国业余数学家 Pierre de Fermat （通常译作“费马”）发现，如果 n 是一个质数的话，那么对于任意一个数 a ， a 的 n 次方减去 a 之后都将是 n 的倍数。
a^n - a=k*n
费马小定理揭示了：当p是一个素数并且a和p互质(除了1无公约数)时，a^(p-1) %p≡1
a^(p-1) mod p = 1 mod p 推出分数的取模公式 a^(p-2)mod p= a^-1mod p
推荐取模不管分数还是整数均用这种方法求模
a/b mod p= a*b^(p-2) mod p
费马大定理
x^n +y^n =z^n一定无有理数解
ACM/ICPC数论高效算法应用报告
在编程中，尤其是在加密算法和数值计算领域，模运算是一种极其常见的数学运算。模运算指的是，给定两个整数a和n，求出a除以n的余数，记作a mod n或a % n。这不仅是一个基础运算，还是许多复杂算法的基石，比如快速幂取模算法、欧几里得算法以及扩展欧几里得算法等。模运算的核心概念是将数字限制在一个特定的范围内循环。这种循环的性质，使得模运算在计算过程中可以有效地控制数值的大小，避免了指数爆炸或者大数运算带来的性能问题。虽然模运算看似简单，但它的灵活性和实用性使其在算法设计中扮演着重要角色。
费马定理：计算2^125 mod 127的值
例子： 根据费马小定理， 2126≡1mod127，同理128≡1mod127 2^{126} ≡ 1 mod 127，同理128≡ 1 mod 127 2126≡1mod127，同理128≡1mod127 其意思是1、128、2^128模127的结果一致， 1mod127=128mod127=1; 我们可以写成 2125∗2≡1mod127，同理64∗2≡1mod127 2^{125} * 2 ≡ 1 mod 127，同理64*2≡ 1 mod 127 2125∗2≡1mod127，同理64∗2≡1mo
IEC61850客户端连接实战：CMS vs MMS协议抓包对比与性能初探（基于YX-PIS协议栈）
本文深入探讨了IEC61850客户端连接中CMS与MMS协议的抓包对比与性能优化。通过Wireshark抓包分析、协议栈配置实战和性能基准测试，揭示了两种协议在连接建立、数据交互和性能调优方面的关键差异，为智能电网自动化系统的协议选择提供了实用指南。
费马小定理
定理解释费马小定理：如果质数p，和满足gcd(a,p) == 1的任意数字a，那么就一定满足下面的式子：证明等这里就不叙述了，想要了解的话可以查看：百度百科：费马小定理应用我们这里就引用一个百度百科中的例子：计算2^100（mod 13）的数值在这个例子中我们知道p = 13，并且p是质数，那么我们就可以去找最大的m值满足：（2^(p-1)）^m我们求解到最大的m值为： 100/（p-1）向下取整...
检索生成(RAG) vs 长文本大模型：实际应用中如何选择？
大模型的上下文理解能力直接影响到 LLMs 在复杂任务和长对话中的表现。本期内容聚焦于两种主流技术：长上下文(Large Context Windows)和检索增强生成(RAG)。这两种技术各有何优势？在实际应用中，我们又该如何权衡选择？文章不仅详细阐述了这两种技术的工作原理，还深入分析了它们在效率、准确性和实施成本等方面的差异。文章特别提到了在执行重复性任务时使用 Context Caching 优化长上下文的优势，然而，缓存策略的效果很大程度上取决于提示词的可预测性。
大白话系列：什么是微服务
用大白话和实际例子来通俗易懂地告诉你什么是微服务～
mod以及费马小定理的基本概念
数论
自动驾驶感知融合算法拆解：从华为MDC案例看前融合与大融合的工程实现
本文深度解析了华为MDC平台在自动驾驶感知融合算法中的前沿工程实践，重点探讨了Camera-Lidar前融合与多传感器大融合的架构设计。通过异构融合架构、数据流优化和场景化应用，华为MDC平台实现了高效、安全的感知能力，显著提升了自动驾驶系统的性能与可靠性。
费马小定理与等比数列的求和（MOD 质数）
费马小定理：任意整数a， a^p≡a (mod p)，p是质数。 定理：1.对a/b≡a*x (mod n)，则称x 为b的乘法逆元，记为b^-1。 2.当模数p为质数，且b与p互质（即b不为p的倍数）时，b的乘法逆元为b^(p-2)。 对2的简单证明： b*b^-1≡1 （mod p）。① 由费马小定理，b^ (p-1)≡1 (mod p)，bb^ -1b^ (p-1)≡1 (mod p)，即 b*b^（p-2）≡ 1 (mod p)。对比①，所以得到2的结论。 所以，对等比数列和公式 a*(q^n-1)
基于MATLAB的鲁棒主成分分析（Robust PCA）图像去噪
鲁棒主成分分析（Robust PCA）是一种有效的图像去噪方法，它能够在保持图像细节的同时去除噪声。本文将介绍如何使用MATLAB实现基于鲁棒PCA的图像去噪，并提供相应的源代码。它假设噪声是随机的、高斯分布的，并将图像分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵的和。低秩矩阵表示图像的结构和纹理信息，稀疏矩阵表示图像中的噪声和细节信息。接下来，我们将图像矩阵减去均值，得到规范化的图像矩阵。然后，我们将灰度图像转换为矩阵形式，并计算图像的均值。通过分离出低秩矩阵和稀疏矩阵，我们就得到了去噪后的图像和残差图像。
YOLO-World：从入门到实战的多模态目标检测全指南
想象一下，你给模型一张“公园”的图片，再输入文字“红色的郁金香”，它能直接在图中框出所有红色郁金香的位置——这就是多模态目标检测：结合图像视觉信息和文本语义信息，同时完成“是什么”（分类）和“在哪里”（定位）的任务。传统目标检测（如YOLOv5、YOLOv8）只能识别预定义的类别（比如训练时学过“猫”“狗”），但多模态目标检测摆脱了“类别预定义”的限制，只要文本能描述，它就能检测，这就是“开放词汇检测（Open-Vocabulary Detection）”的魅力。
费马小定理简单证明和一些简单应用
打字不变就在纸上证明好了1 这种证法是一种很巧妙的方法，避免了一些复杂概念的引入，很简单的证明了费马小定理 那么费马小定理具体有什么地方可以应用呢 1.我们可以用它判断一些大数是否为质数也就是Miller-Rabin 素数判定算法，它主要运用了费马小定理和二次探索定理，再次不深入探究，只是提出 2.对于计算ab(modp)ab(modp) 可简化 对于素数p，任取跟他互素的数a，有a^(p-1)...
AI Agent驱动的多模态情感分析方法：从BERT到Vision Transformer的探索
情感分析（Sentiment Analysis）是自然语言处理（NLP）与计算机视觉（CV）中一项重要任务。传统的情感分析主要依赖于文本数据，但在现实应用中，情感往往通过 语言、语音、表情、姿态 等多模态信号共同传达。因此，结合 多模态深度学习 的 AI Agent 在情感理解中具有广阔的前景。
HDU4675【GCD of scequence】【组合数学、费马小定理、取模】
看题解一开始还有地方不理解，果然是我的组合数学思维比较差 然后理解了之后自己敲了一个果断TLE。。。。 我以后果然还得多练啊 好巧妙的思路啊 知识1： 费马小定理是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 对于除法取模还需要用到费马小定理： a ...
非机动车闯红灯检测与自动录像系统实战（YOLO+追踪+红绿灯感知）
本文聚焦非机动车（如电动车、自行车）闯红灯行为的智能识别系统构建，结合 YOLO 检测模型、追踪算法（如 DeepSORT）、红绿灯状态感知与区域判断逻辑，构建完整的违章行为识别与证据录像系统。文章涵盖数据采集、模型选型、红绿灯触发机制、闯红逻辑判定、视频自动保存等核心环节，辅以 Jetson/RK3588 平台部署与工程实测，适用于城市交通监控、智慧路口管控等真实场景。
深度学习工具包 DeepLearningToolbox
深度学习工具包Deprecation notice.-----This toolbox is outdated and no longer maintained.There are much better tools available for deep learning than this toolbox, e.g. [Theano](http://deeplearning.net/software/theano/), [torch](http://torch.ch/) or [tensorflow](http://www.tensorflow.org/)I would suggest you use one of the tools mentioned above rather than use this toolbox.Best, Rasmus.DeepLearnToolbox================A Matlab toolbox for Deep Learning.Deep Learning is a new subfield of machine learning that focuses on learning deep hierarchical models of data.It is inspired by the human brain's apparent deep (layered, hierarchical) architecture.A good overview of the theory of Deep Learning theory is[Learning Deep Architectures for AI](http://www.iro.umontreal.ca/~bengioy/papers/ftml_book.pdf)For a more informal introduction, see the following videos by Geoffrey Hinton and Andrew Ng.* [The Next Generation of Neural Networks](http://www.youtube.com/watch?v=AyzOUbkUf3M) (Hinton, 2007)* [Recent Developments in Deep Learning](http://www.youtube.com/watch?v=VdIURAu1-aU) (Hinton, 2010)* [Unsupervised Feature Learning and Deep Learning](http://www.youtube.com/watch?v=ZmNOAtZIgIk) (Ng, 2011)If you use this toolbox in your research please cite [Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data](http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=6284)```@MASTERSTHESIS\{IMM2012-06284, author = "R. B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")
计算机基础-取模
引言. 在做算法题的过程中，经常需要取模操作，对结果模上1e9+7或者1e9+9或者998244353。但有时会发现题目A不了最后是取模的问题，为了在日后的题目完成过程中避免因取模而出错，因此整理一下取模相关的知识。 文章目录引言.1. 取模运算和取余运算：2. 为什么总是对这几个数取模?3. 扩展欧几里德算法[^1]:3.1 欧几里德算法(也叫辗转相除法):3.2 扩展欧几里德算法:3.2.1 符号约定:3.2.2 算法思想:3.2.3 求模逆元:3.2.3.1 费马小定理:3.2.3.2 扩展欧几里德算
Probability and Statistics - 4th edition
Probability and Statistics - 4th edition
用大数取模思想解决“又是斐波那契数列”问题
有另一种斐波那契数列：F0=7，F1=11，Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2)。
TMS_WebGMaps_1.9.8.0_Full_Source
TMS_WebGMaps_1.9.8.0_Full_Source 全源码 delphi cbuilder
老版QQ原生表情gif动态
这是老版的QQ表情，不过全是动态的的，Windows照片查看器是不会动的，可以右击用浏览器打开查看，再说一遍是老版的，只是分享给宁愿用老版也要动态的人。
分数取模和求解逆元
对于分数取模问题，提供费马小定理和逆元法两种解决方案，同时，对于求解逆元问题，提供拓展欧几里得算法、费马小定理和欧拉定理三种解决方案，并提供相应代码实现
组合数取模（费马小定理）
费马小定理： （p为质数） 我们由此可以推出： （m是质数） 所以a在mod m 意义下的逆元等价于a^m-2，这样我们就会求一个数的逆元了。 注意：费马小定理只能在a,m互质时使用! 这里我们会想可不可以直接带公式求解呢？ 因为涉及到除法的取模，所以要用到逆元求解，自然想到使用费马小定理来求一个数的逆元 思路 这样我们就可以快速的求出组合数取模后的结...
逆元与费马小定理
本文介绍了模运算中的逆元概念及其计算方法。逆元定义为满足a·a⁻¹≡1(mod m)的a⁻¹，存在条件是a与m互质。求逆元主要有两种方法：扩展欧几里得算法适用于任意互质情况，费马小定理适用于模数为质数的情况（a⁻¹≡aᵐ⁻² mod m）。费马小定理指出当p为质数且gcd(a,p)=1时，aᵖ⁻¹≡1(mod p)。文章还介绍了欧拉定理作为费马小定理的推广，并列举了逆元在竞赛编程、密码学等领域的应用场景。这些工具是处理模运算除法的核心方法。
关于余数的定理
若两个整数 (a) 和 (b) 满足 (a \equiv b \pmod{m})，则 (m) 整除 (a-b)，即存在整数 (k) 使得 (a = b + km)。其中 (M_i = \frac{M}{m_i})，(y_i) 是 (M_i) 在模 (m_i) 下的逆元。其中 (\phi(n)) 是欧拉函数，表示小于等于 (n) 且与 (n) 互质的数的个数。：当 (n) 为质数时，(\phi(n) = n-1)，退化为费马小定理。在模运算下进行除法（如组合数 (C(n, k) \mod p)）。
【费马小定理 / exgcd（求逆元）】洛谷 P2613 【模板】有理数取余 ——(分数取模)
前话——何为逆元？ 乘法逆元： 每个 a 有且仅有一个 x ，使得ax Ξ 1 (mod p)，且gcd(a, p) = 1，x称为a的逆元 或者说： ax Ξ 1 (mod p)：x是a的逆元 一个数a有逆元的充分必要条件：gcd(a, m) = 1，逆元唯一存在 洛谷 P2613 【模板】有理数取余 思路： 一： a，b都是大数，所以我们怎么处理这两个数呢？这里就用到了两个取模的性...
C++分数取模【固定模板+讲解】
对于算法题目中要求对分数取模的题目，往往不能直接求解，这里是一套标准实用的C++模板和讲解。
模运算下乘法逆元：从定义到三大算法与应用场景详解
在模运算体系中，除法运算并不总是可行，这催生了乘法逆元这一核心概念。乘法逆元本质上是模意义下的“倒数”，它使得在有限域（特别是模质数域）中，除法操作可以安全地转化为乘法操作，从而解决了模运算下除法的定义难题。其技术价值在于为组合数学计算、密码学协议以及算法竞赛中的大数取模问题提供了数学基础。通过费马小定理、扩展欧几里得算法及线性递推法，可以高效求解逆元，进而应用于组合数取模、分数序列求和等常见工程场景。本文深入探讨了模运算、数论基础以及如何利用逆元处理模质数下的除法问题。
逆元，除法同余原理
本文详细讲解了除法同余原理的原理，以及逆元的使用，和逆元的公式
同余理论：从时钟算术到RSA加密与算法竞赛核心应用
模运算（Modular Arithmetic）是计算机科学和现代密码学的基础数学工具之一，它研究整数除以某个固定正整数（模）后的余数性质。其核心原理在于将无限整数集划分为有限的剩余类，从而在有限域内进行运算。这一理论具有极高的技术价值，它不仅是理解数论问题的关键，更是实现高效、安全计算系统的基石。在应用场景上，模运算广泛应用于数据哈希（均匀分布）、随机数生成、校验和计算以及循环队列等基础数据结构。特别是在密码学领域，RSA非对称加密算法完全建立在模幂运算、欧拉定理和模逆元计算之上，其安全性依赖于大数分解的困
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