组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）

最新推荐文章于 2024-02-03 16:29:04 发布

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本文介绍了在n和m较大，特别是当p为素数时，如何利用Lucas定理求解c(n,m) mod p。当p较小，可以通过预处理阶乘和快速幂计算逆元；若p较大，则需逐项计算并求逆元。对于非素数p，引入扩展Lucas定理进行讨论。" 115371523,8673935,JavaScript学习：script元素与执行策略,"['javascript', '前端开发', 'HTML', 'script标签']

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正文

1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；

2、n和m较大，但是p为素数的时候

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

求上式的时候，Lucas递归出口为m=0时返回1

求C(n%p, m%p)%p的时候，此处写成C(n, m)%p(p是素数，n和m均小于p)

C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p

由于p是素数，有费马小定理可知，m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。

p较小的时候预处理出1-p内所有阶乘%p的值，然后用快速幂求出逆元，就可以求出解。p较大的时候只能逐项求出分母和分子模上p的值，然后通过快速幂求逆元求解。

P较大，不打表：

ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    ll up = 1, down = 1;//分子分母;
    for(int