【题解】洛谷P1463（同bzoj1053/LibreOJ10203）[POI2002][HAOI2007]反素数唯一分解定理+dfs

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分类专栏：洛谷 POI 省选 bzoj 唯一分解定理 dfs LibreOJ 文章标签： dfs 唯一分解定理

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本文介绍了如何求解不超过N的最大反质数问题，涉及到反质数定义、唯一分解定理以及利用DFS进行搜索的方法。通过分析得出，最大反质数是约数个数最多且质因子连续、指数单调递减的数，N的范围在1到2,000,000,000之间。" 137170619,22838013,解决Android FragmentPagerAdapter 刷新问题,"['Android开发', 'UI框架', 'ViewPager']

题目链接

题目描述

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。

如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0 < i < x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。

现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

输入输出格式

输入格式：
一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

输出格式：
不超过N的最大的反质数。

输入输出样例

输入样例#1：
1000
输出样例#1：
840

将N唯一分解，我们可以得出以下结论：
1.1_{N中最大的反质数，就是1}N中约数个数最多的数中最小的一个
2.1~N中任何数的不同质因子都不会超过10个，且所有质因子的指数总和不超过30
3.任意x∈[1,N]，x为反质数的必要条件是：x的质因子是连续的若干个最小的质数，并且指数单调递减.
dfs搜索量很小，可行

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll n,ans,maxn;
int prime[]={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
void dfs(int cho,ll cnt,ll num)//当前选到第几个质数，有多少个约数，这个数是几 
{
	if(cho>12)return;
	if(cnt>maxn||(cnt==maxn&&num<ans))//约数个数相等时选更小的数 
	{
		ans=num;maxn=cnt;
	}
	ll s=0,p=1;
	while(num*p<=n)//枚举新增质数情况 
	{
		dfs(cho+1,cnt*(s+1),num*p);
	    p*=prime[cho],s++;
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	dfs(1,1,1);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}