多重背包动态规划及空间优化

最新推荐文章于 2025-05-21 02:14:13 发布

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动态规划入门

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本文深入解析多重背包问题，一种经典的动态规划算法应用。通过详细解释问题背景和解题思路，提供两种实现代码，包括标准DP解决方案和空间优化版本。适合算法初学者和进阶者学习。

题目描述：

有n种物品，第 i 种物品的价值是vai，体积时voi，个每种物品的数量是有限的，为cnti

现有容量为w的背包，请你放入若干物品，爱总体积不超过w的条件下，使总价值尽可能大

解题思路：

可以按01背包问题的思路解决，其实01背包问题就是特殊情况下的多重背包

可以每次把cnti个物品逐个拆分，转化为01背包

状态转移方程为：

dp[i][j] = max( dp[i-1][j - vo[i]*k] + va[i]*k , dp[i][j]) 0 <= k <=cnt[i]

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

int va[20],vo[20],cnt[20];
int dp[20][20];


int main()
{
	int n , w;
	scanf("%d %d",&n , &w);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d %d %d",&va[i],&vo[i],&cnt[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= w; j++)
		{
			for(int k = 0; k < cnt[i]; k++)
			{
				if(j >= vo[i]*k)
				{
					dp[i][j] = max( dp[i-1][j-vo[i]*k] + va[i]*k , dp[i][j] );//每次将放入一个物品的最大总价值与之前的情况相比取较大的 
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[n][w]);
	
	return 0; 
}

空间优化代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;


int va[20] , vo[20] , cnt[20];
int dp[20];

int main()
{
	int n , w;
	scanf("%d %d",&n , &w);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		scanf("%d %d %d", &va[i] , &vo[i] , &cnt[i]);
	}
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		for(int j = w ; j >= 0 ; j--)
		{
			for(int k = 0 ; k <= cnt[i] ; k++)
			{
				if(j >= vo[i]*k)
				{
					dp[j] = max(dp[j - vo[i]*k] + va[i]*k , dp[j]);
				}
			} 
		}
	}
	printf("%d",dp[w]);
	
	return 0;
}