「动态规划::背包DP」多重背包 / 二进制优化|单调队列优化 / AcWing 4|5|6（C++）

目录

概述

思路

算法过程

Code 

复杂度

优化方案

1.二进制优化

Code

复杂度

2.单调队列优化

Code

复杂度

总结

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概述

AcWing 4|5|6：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 ，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤10000
0<V≤200000
0<vi,wi,si≤20000

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

多重背包是背包问题中较为复杂的一个问题，我们将依次介绍朴素算法、二进制优化、单调队列优化，来依次解决AcWing 4、5、6。

之所以称为多重背包，是因为每个物品有选择次数限制。

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思路

朴素地来讲，我们用三重循环来解决这个问题。

 定义dp[a][b]为能够物品选择范围为前a个物品且当前背包最多能装体积为b的物品总量时的最优解。

这样，我们就可以从小问题推导出大问题的解，应该是这样的：

考虑选择范围为前i个物品，体积为j，当dp[i - 1]的所有状态已知时，对于第i个物品，有选几个的状态，取所有情况最大值。

即dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k) (1 <= k <= s[i]);

如果 j < v[i]，则代表放不下这个物品,dp[i][j] = dp[i - 1][j];

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算法过程

我们可以得到非常直观的三重循环。

我们直接做一次空间优化，即使用一维dp数组。

这一部分可以参照此前的背包dp文章。 

Code 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 101;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int dp[N];
int so