HDU - 4704 Sum

最新推荐文章于 2023-01-19 13:55:02 发布

@bigfive

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分类专栏： ACM 数论文章标签：欧拉降幂公式

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本文详细解析了HDU-4704Sum问题，并给出了一种利用欧拉定理进行幂次简化的方法。通过计算2^(n-1)模特定数值的值来解决大数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

HDU - 4704 Sum

题意

就是题目里那些个东西求和，认真看一下就会明白了

思路

S(k)代表将n划分成k份有多少种方法的方法数目，隔板问题，相当于在n个1中插入k-1个隔板，n个1有n-1个空，所以S(k)=C(n-1,k-1)，题目要求S(1)+S(2)+…….+S(n)，就是求
C(n-1,0)+C(n-1,1)+……+C(n-1,n-1)，这就是(1+1)^(n-1)的二项展开式，所以就是求2^(n-1)，但是题目所给的n太大，这时候要用到欧拉定理进行降幂处理：

欧拉定理：设 n 是一个正整数，则对于任意整数 a，都有 a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)，若 a, n 互素，则有 a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)。其中 φ(n) 为欧拉函数，定义为不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数。

由上可以看出，可以将本题的n%φ(mod)，用余数进行计算即可，因为本题的mod是素数，所以φ(mod)=mod-1。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
char s[100010];

ll pow_mod(ll a,ll n,ll p)
{
    ll ret=1;
    ll tmp=a;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret=ret*tmp%p;
        tmp=tmp*tmp%p;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    while(cin>>s)
    {
        ll ans=0;
        int n=strlen(s);
        for(int i=0;i<n;i++)//逐位读取字符串表示的大整数
            ans=(ans*10+s[i]-'0')%(mod-1);//欧拉降幂公式
        cout<<pow_mod(2,ans-1,mod)<<endl;
    }
    return 0;
}